Násobilku jste se pravděpodobně naučili už dávno, ale opravdu rozumíte tomu, co se děje pod kapotou?
Není to magie. Je to jen rychlejší způsob přidávání.
Vezměme “2 x 3”. Nejsou to jen dvě čísla vedle sebe. Jedná se o redukci. To znamená, že třikrát přidáte číslo 2.
“2 + 2 + 2 = 6”.
Výsledek – 6. Proces je jednodušší. Ušetříte čas. Šetříte duševní zdroje.
To je podstata násobení. Je to základní nástroj aritmetiky. Umožňuje snížit opakující se částky. Místo psaní dlouhých řetězců sčítání používáme jeden symbol.
Ale pochopení struktury vám pomůže tuto dovednost zvládnout.
Části násobení
Každý problém násobení má tři hlavní složky. Pokud je znáte, můžete analyzovat i ty nejsložitější příklady.
- Multiplying Number : Toto je číslo, které se opakuje. Toto je „co“.
- Multiplier : Ukazuje, kolikrát se musí číslo, které se má násobit, opakovat. Toto je „kolikrát“.
- Produkt : Toto je konečný výsledek.
Podívejme se na větší příklad.
“45 x 3”.
Zde 45 je číslo, které se násobí. Zopakuješ to.
Číslo 3 je násobitel. Udělejte to třikrát.
Takže 45 x 3 je totéž jako 45 + 45 + 45.
Dejte je dohromady.
“45 + 45 = 90”.
“90 + 45 = 135”.
Produkt je 135.
Můžete strávit minuty přidáváním. Nebo se můžete množit. Odpověď bude stejná. Proces je rychlejší.
“Násobení zjednodušuje proces. Místo tří samostatných sčítání provedete jednu jedinou operaci.”
Proč na tomto rozdílu záleží? Protože jak čísla rostou, sčítání se stává nepraktickým. Zkuste k sobě ručně přidat 123 padesátkrát. Uděláte chybu. Budete naštvaní. Nikdy neskončíš.
Násobení tomu brání. Šupí se.
Studenti jsou často zmateni, které číslo je které. Záleží na tom?
Technicky vzato, v čisté matematice pořadí nemění součin. „2 x 3“ se rovná „3 x 2“. Oba se rovnají 6.
Ale ve slovních úlohách pořádek vypráví příběh.
Pokud máte 3 košíky se 2 jablky v každém.
Počet, který se má vynásobit, je 2 (jablka v každém košíku).
Násobitel – 3 (počet košíků).
Třikrát přidáte 2.
Pochopení této struktury je prvním krokem. Jakmile začnete uvažovat o násobení jako o opakovaném sčítání, abstraktní symboly začnou dávat smysl.
Nejde o slepé zapamatování tabulek. Jde o to vidět vzorec.
Co se stane, když přidáte nulu?
Co se stane, když vynásobíte jednou?
Tyto otázky vedou k hlubším pravidlům. Nejprve se ale musíte cítit sebevědomě v základech.
Základ je pevný. Logika je jasná.
Nyní stačí cvičit.
Když násobíte, v podstatě provádíte opakované sčítání. Zní to triviálně, ale pochopení struktury operace vám pomůže vyhnout se chybám z nedbalosti. Každá úloha násobení má tři různé části.
Multiplikand je číslo, které se násobí. To je základní hodnota. Multiplikátor je číslo, které udává, kolikrát musíte přidat multiplikand. Nakonec je tu produkt, což je výsledek, který vznikne, když se vše sečte.
Společně se multiplikand a multiplikátor často nazývají jednoduše multiplikandy. Znát rozdíl je důležité, když vysvětlujete matematiku dítěti nebo ladíte kód, i když samotná matematika je v konečném výsledku považuje za zaměnitelné.
Záměna se znakem násobení
Existuje přetrvávající mýtus, že znak násobení je „x“. To je špatně. Tradičním symbolem je dexsata – kříž podobný kříži svatého Ondřeje (✕).
Proč tedy všichni používají „x“? Praktičnost. Většina klávesnic nemá symbol ✕ snadno dostupný. Psaní “x” je rychlejší. Ale tady je problém. V algebře je „x“ standardní proměnná pro neznámou hodnotu. Vidět “5 x 3” je jasné. Vidět „5 x x“ je chaos.
Aby nedošlo k záměně, zejména v algebraických výrazech, použijte tečku (·) nebo hvězdičku (*). Jsou čistší. Signalizují násobení, aniž by zachycovaly proměnný prostor.
Použijte tečku (·) nebo hvězdičku (*) v algebraických kontextech k rozlišení násobení od proměnných.
Jak násobit jednociferná čísla
Začněte se základy. Memorování je zde klíčové. Nepotřebujete kalkulačku pro 7 x 8. Pokud váháte, pomalu pokládáte základy složité matematiky.
Cvičte pomocí kartiček nebo online cvičení. Snažte se o rychlost a přesnost. Jakmile se jednociferná čísla stanou automatickými, přejděte k větším číslům.
Násobení velkých čísel
Dlouhé násobení je prostě opakované násobení jednociferných čísel s kontrolou místa.
- Zarovnejte čísla. Umístěte větší číslo nahoru.
- Násobte číslici číslicí. Začněte číslicí úplně vpravo od spodního čísla.
- Přenést. Pokud má výsledek dvě číslice, ponechte místo desítek a přeneste jej do dalšího sloupce.
- Shift Left. Když se přesunete na další číslici ve spodním čísle, posuňte výsledek o jedno místo doleva. Pokud vám to pomůže při vizualizaci, přidejte nulu jako zástupný symbol.
- Přidejte dílčí produkty. Přidejte všechny mezivýsledky, abyste získali konečný produkt.
Řekněme, že počítáte 123 x 45.
Vynásobte 123 5. Výsledek: 615.
* Vynásobte 123 4. Výsledek: 492.
* Posuňte 492 o jedno pole doleva (4920).
Přičtěte 615 + 4920 = 5535.
Je to mechanické. Je to únavné. Je to spolehlivé.
Proč je to pro studenty důležité
Studentům často uniká „proč“ a chtějí jen odpověď. Ale pochopení multiplikátorů vs. multiplikand pomáhá při pozdějším rozšiřování polynomů. To pomáhá s porozuměním
Dlouhé násobení: Umění nést
Když pracujete s vícemístnými čísly, horizontální zápis (například 12 x 6 = 72 ) se rychle stane nepohodlným. To je, když přepnete na vertikální metodu. Pokud sloupce nezarovnáte, vše se změní v chaos. Jednotky pod jednotkami. Desítky pod desítky. Pokud tyto sloupce nejsou zarovnány, vše se rozpadne.
Tady je návod, jak se to opravdu dělá. Začněte vpravo. Vynásobte jednotky číslic. Výsledek napište pod řádek. Tady ale začíná zábava. Co dělat, když je výsledek větší než devět?
Vezměme “12 x 6”. Začínáte s “2 x 6”. To se rovná “12”. Do sloupce jednotek nelze napsat „12“. Píšeš “2”. Pak vezmete 1 (to jsou desítky) a zapamatujete si ho. Toto je **přenos. Napište to malým písmem nad sloupec desítek. Nezapomeň na to.
Nyní přejděte na další číslo. Násobení desítek: “1 x 6”. To vám dává “6”. Ale nepíšete jen „6“. Přidáte přenesenou jednotku, kterou jste si pamatovali. “6 + 1 = 7”. Napište tuto ‘7’ do sloupce desítek. Výsledek: “72”.
Pokud má násobitel více číslic, opakujte tento postup. Vynásobte číslicí jednotek. Výsledek napište na nový řádek. Poté vynásobte desetinnou číslicí a posunete zápis o jednu pozici doleva. Udělejte totéž se stovkami. Nakonec sečtěte všechny dílčí produkty. To je aritmetika, ne magie.
Skrytá pravidla násobení
Můžete násobit celá čísla, přirozená čísla, zlomky nebo komplexní čísla. Pravidla zůstávají prakticky nezměněna. Přizpůsobují se jen mírně v závislosti na typu čísel. Zde jsou vlastnosti, které řídí každý výpočet.
Vlastnost nuly (absorpční prvek)
Vynásobte cokoliv nulou a dostanete nulu. Tohle je černá díra.
“1470 x 0 = 0”.
Jedna vlastnost (neutrální prvek)
Vynásobte libovolné číslo jednou a zůstane úplně stejné. Jednotka je zrcadlo.
“1470 x 1 = 1470”.
Uzavřenost
Vynásobit dvě přirozená čísla? Získáte další přirozené číslo. Žádné zlomky. Bez desetinných míst. Pouze celá čísla.
“500 x 2 = 1000”.
Komutativní vlastnost
Na pořadí nezáleží. „500 x 2“ je totéž jako „2 x 500“. Produkt zůstává „1000“. Faktory můžete zaměnit, aniž byste porušili rovnost.
Asociativní vlastnost
Nezáleží ani na seskupování. Pokud máte tři čísla, nezáleží na tom, která dvě vynásobíte jako první.
“500 x 2 x 3 = 3000”.
“500 x (2 x 3) = 3000”.
Výsledek je identický.
Distribuční nemovitost
To učitelé rádi testují u zkoušek. Vynásobení čísla součtem je ekvivalentní vynásobení tohoto čísla každou částí zvlášť a následnému sečtení výsledků.
“500 x (2 + 3) = 2500”.
Pojďme si to rozebrat:
“(500 x 2) + (500 x 3)”.
1000 + 1500 = 2500
Stejný výsledek. Jiný způsob.
Jak pracovat se znaky
Když do hry vstoupí záporná čísla, změní se pravidla hry. Jak vynásobíte znaménka, určuje, zda je vaše odpověď kladná nebo záporná.
Jak vlastně fungují znaménková pravidla pro násobení
Většina studentů se učí znaková pravidla jako běžný seznam. Je snazší si je představit jako logické důsledky toho, jak čísla souvisí s nulou. Když množíte, nespojíte jen množství. Můžete také kombinovat směry.
Považujte kladné číslo za pohyb vpřed. Záporné číslo je jako pohyb zpět.
Pozitivní časy pozitivní zůstávají vpřed
To je zřejmé. Posunete se vpřed a pak zase vpřed. Výsledek je pozitivní.
Podívejme se na příklad 45 x 1.
Máte čtyřicet pět jednotek. Vezmete jednu skupinu takových jednotek. Zbývá vám ještě čtyřicet pět. Znaménko zůstává pozitivní, protože směr se nezměnil.
Záporné časy záporné obrátí směr
Toto je část, která často způsobuje zmatek. Proč se záporné časy záporné rovná kladné?
Představte si to takto: vynásobení záporným číslem obrátí váš směr. Pokud již stojíte čelem vzad (záporný směr) a znovu provedete pokyn k otočení (další záporné číslo), skončíte čelem dopředu.
Podívejme se na příklad -24 x -3.
Začínáte s mankem čtyřiadvaceti. Záporná trojka vám říká, abyste tento deficit zvrátili třikrát. Opakem ztráty je zisk. Výsledek je 72. Není to magie. To je důslednost při určování směru.
Výsledek mění různá znamení
Když se znaménka liší, výsledek vždy ztrácí na pozitivitě.
Pokud vynásobíte kladné číslo záporným číslem, uděláte krok vpřed a pak se otočíte. Konečný výsledek je zpětný (negativní).
Pokud vynásobíte záporné číslo kladným číslem, začnete se pohybovat zpět, ale uděláte kroky vpřed. Zůstanete ve směru dozadu.
Všimli jste si symetrie?
- 24 x -3 dává -72.
- -24 x 3 také dává -72.
Modul (absolutní hodnota) je stejný. Směr závisí pouze na tom, zda máte jeden negativní faktor nebo dva.
Jeden záporný násobitel? Odpověď je ne.
Dva negativní faktory? Odpověď je ano.
Jedná se o jednoduchý filtr. Spočítejte počet záporných čísel.
- Lichý počet záporných čísel? Produkt je negativní.
- Existuje sudý počet záporných čísel? Produkt je pozitivní.
Nula záporná čísla? Výsledek je pozitivní.
Toto pravidlo platí, ať už se jedná o dvě čísla nebo dvacet. Nemusíte si nejprve vše úplně spočítat. Můžete jen zkontrolovat značky na konci, abyste se ujistili, že to funguje správně.
Ale proč je to důležité mimo domácí úkoly?
Protože skutečné výpočty často zahrnují protichůdné síly. Dluh versus příjem. Deficit versus přebytek. Pochopení toho, jak se značky vzájemně ovlivňují, zabrání chybám v sestavování rozpočtu, fyzice a analýze dat.
Většina lidí se zastaví u aritmetiky. Zapomínají, že znak je součástí významu. Ignorovat to je jako ignorovat desetinnou čárku. Číslo vypadá správně. Význam je špatný.
Až příště uvidíte v problému s násobením znaménko mínus, zastavte se. Nepřerývejte jen čísla. Zeptejte se sami sebe: Jakým směrem se pohybuji? Jakmile to víte, zbytek je jen výpočet.
