Die Binomialverteilung ist ein statistisches Arbeitstier. Es hilft Ihnen, Ergebnisse in Situationen vorherzusagen, in denen Sie eine feste Anzahl von Versuchen haben und jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat.
Betrachten Sie es als die Mathematik hinter „Wie stehen die Chancen?“
Dieses Modell gilt für diskrete Prozesse. Die Regeln sind streng. Sie benötigen eine feste Anzahl an Versuchen. Jeder Versuch muss unabhängig sein. Die Erfolgschance bleibt konstant. Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, funktioniert das Binomialmodell nicht mehr.
Es begann mit Glücksspielen. Jakob Bernoulli hat es 1713 formalisiert. Sein Beweis kam nach seinem Tod heraus. Er zeigte, dass die Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, mit dem k -ten Term in der Entwicklung von (p + q)^n übereinstimmt. Hier ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit. q ist die Ausfallwahrscheinlichkeit, die einfach 1 – p ist.
Von dieser Erweiterung kommt der Name. Zwei Begriffe. Zur Macht erhoben. Binomial.
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Du würfelst 50 Mal. Sie möchten die Chance wissen, genau 10 Sechser zu bekommen.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, beträgt 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, beträgt 5/6. Also p = 1/6 und q = 5/6. Die Formel betrachtet den 10. Term (von Null an gezählt) in der Entwicklung von (5/6 + 1/6)^50.
Das Ergebnis beträgt ungefähr 0,1156. Etwa 11,5 %. Nicht selten, aber nicht garantiert.
Das ist nicht nur theoretisch. Es ist praktisch. Es sagt Ihnen, wie wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse bei wiederholten Ereignissen sind.
Die Mendel-Kontroverse
Im Jahr 1936 nutzte Ronald Fisher dieses Werkzeug, um einen der größten Namen der Wissenschaft herauszufordern. Gregor Mendel veröffentlichte 1866 seine Experimente zur Erbsengenetik. Sie wurden zur Grundlage der modernen Genetik.
Fisher analysierte Mendels Daten erneut mithilfe der Binomialverteilung. Mendels Vererbungsgesetze sagten voraus, dass drei Viertel der Nachkommen einer bestimmten Kreuzung gelbe Erbsen sein würden.
Mendel zählte in einem Experiment 8.023 Erbsen. Die durchschnittliche Anzahl gelber Erbsen sollte etwa 6.017 betragen. Mendel berichtete von 6.022 gelben Erbsen.
Das ist unglaublich nah.
Fisher berechnete die Wahrscheinlichkeit einer so engen Übereinstimmung. Es passierte nur etwa 1 von 10 Malen. Das ist verdächtig gut.
Mendel hatte sieben verschiedene Experimente. Alle stimmten nahezu perfekt mit den erwarteten Binomialwerten überein. Man hatte sogar einen kleinen Rechenfehler von Mendel, dennoch passte das Endergebnis zu gut zum Modell.
Fisher veröffentlichte seine Ergebnisse. Er deutete auf wissenschaftliche Schikanen hin. Hat Mendel seine Daten angepasst, um sie an die Theorie anzupassen? Die Debatte geht weiter. Niemand hat einen Betrug definitiv nachgewiesen. Aber die statistische Anomalie bleibt bestehen.
Warum das für Sie wichtig ist
Wenn Sie die Binomialverteilung verstehen, können Sie Muster erkennen. Es hilft Ihnen, Glück von Können zu unterscheiden. Es hilft Ihnen zu verstehen, wann Daten „zu gut um wahr zu sein“ erscheinen.
Sie verwenden es jedes Mal, wenn Sie das Risiko bei wiederholten Ereignissen bewerten.
- Münzwürfe : Wie viele Köpfe ergeben 100 Würfe?
- Qualitätskontrolle : Wie viele fehlerhafte Artikel sind in einer Charge von 1.000 Stück enthalten?
- Marketing : Wie viele Klicks aus 1.000 Anzeigenimpressionen?
Die Mathematik bleibt gleich. Der Kontext ändert sich.
Der Schlüssel liegt darin, zu wissen, wann man es anwenden muss. Sie brauchen Unabhängigkeit. Sie benötigen eine feste Wahrscheinlichkeit. Sie benötigen eine festgelegte Anzahl an Versuchen.
Wenn diese existieren, das Binomial
