Georg Cantor hat nicht nur die Mathematik ver\u00e4ndert. Er hat es kaputt gemacht. <\/p>\n
Der 1845 in St. Petersburg geborene deutsche Mathematiker besch\u00e4ftigte sich mit Zahlen und entdeckte etwas, das anderen entgangen war. Vor ihm war Unendlichkeit ein vager Begriff. Eine gro\u00dfe Zahl, die immer weiterging. Aber Cantor sah darin einen Ort. Eine Landschaft mit unterschiedlichen Regionen, unterschiedlichen Gr\u00f6\u00dfen und unterschiedlichen Regeln. <\/p>\n
Er wurde zum Begr\u00fcnder der Mengenlehre<\/strong>, indem er Zahlensysteme als vollst\u00e4ndige Einheiten behandelte. Er betrachtete nicht nur einzelne rationale Zahlen. Er sah die ganze Gruppe an. Der gesamte Satz von ihnen. Dieser Perspektivwechsel f\u00fchrte zu einer Entdeckung, die sich f\u00fcr die meisten Menschen immer noch falsch anf\u00fchlt. <\/p>\n Nicht alle Unendlichkeiten sind gleich. <\/p>\n Das erste, was Cantor bewies, war, dass einige unendliche Mengen gez\u00e4hlt werden k\u00f6nnen. Nehmen Sie die rationalen Zahlen. Das sind Br\u00fcche. Jede Zahl, die Sie als eine ganze Zahl dividiert durch eine andere schreiben k\u00f6nnen. Es scheint, als g\u00e4be es viel mehr Br\u00fcche als das Z\u00e4hlen von Zahlen (1, 2, 3 …). <\/p>\n Cantor zeigte eine Eins-zu-eins-Entsprechung. Er kombinierte jede rationale Zahl mit einer eindeutigen Z\u00e4hlzahl. Keiner wurde ausgelassen. Keiner wiederholt. <\/p>\n Die Menge der rationalen Zahlen ist abz\u00e4hlbar. <\/p>\n<\/blockquote>\n Das bedeutete, dass die Unendlichkeit der Br\u00fcche die gleiche \u201eGr\u00f6\u00dfe\u201c hat wie die Unendlichkeit der ganzen Zahlen. Mathematiker nennen dies z\u00e4hlbare Unendlichkeit. Es ist \u00fcberschaubar. Sie k\u00f6nnen es auflisten. Sie k\u00f6nnen es indizieren. <\/p>\n Doch dann kam der wahre Schock. <\/p>\n Cantor richtete seine Aufmerksamkeit auf irrationale Zahlen. Zahlen wie Pi oder die Quadratwurzel aus zwei. Diese Dezimalstellen gehen endlos weiter, ohne sich zu wiederholen. Sie f\u00fcllen die L\u00fccken zwischen Br\u00fcchen. Cantor hat bewiesen, dass es hier keine solche Korrespondenz gibt. <\/p>\n Sie k\u00f6nnen sie nicht mit Z\u00e4hlzahlen verkn\u00fcpfen. Es sind einfach zu viele. <\/p>\n Dieses Set ist unz\u00e4hlbar. Es ist gr\u00f6\u00dfer. Es ist eine gr\u00f6\u00dfere Unendlichkeit. <\/p>\n Diese Entdeckung zwang Cantor dazu, die sogenannten transfiniten Zahlen zu klassifizieren. Das sind Unendlichkeitsgrade. <\/p>\n Wenn man sich die Unendlichkeit als eine H\u00f6he vorstellt, hat Cantor gezeigt, dass es sich nicht nur um einen einzigen hohen Gipfel handelt. Es ist eine Bergkette. Einige Gipfel sind h\u00f6her als andere. Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist h\u00f6her als die Unendlichkeit der Z\u00e4hlzahlen. <\/p>\n Er hat das nicht nur durch Raten herausgefunden. Er bediente sich strenger Logik. Er verglich die Gr\u00f6\u00dfe der Sets direkt. Wenn Sie jedes Element in Satz A ohne Reste mit Satz B abgleichen k\u00f6nnen, haben sie die gleiche Gr\u00f6\u00dfe. Wenn nicht, ist einer gr\u00f6\u00dfer. <\/p>\n Deshalb ist es wichtig, Cantors Diagonalargument<\/strong> zu verstehen. Es ist der Beweis daf\u00fcr, dass die reellen Zahlen unz\u00e4hlbar sind. Es zeigt eine konkrete M\u00f6glichkeit, eine Nummer zu finden, die in keiner Liste enthalten ist, die Sie erstellen m\u00f6chten. <\/p>\n Die meisten Leute h\u00f6ren in der Highschool nichts mehr von Cantor. Oder nie etwas von ihm h\u00f6ren. Sie lernen Mathematik als eine Reihe statischer Regeln. Hinzuf\u00fcgen. Subtrahieren. Multiplizieren. Teilen. <\/p>\n Cantor lehrt uns, dass Mathematik dynamisch ist. Es geht um Beziehungen zwischen Gruppen. Nicht nur einzelne Ziffern. <\/p>\n Wenn Sie Grundlagen der Mengenlehre<\/strong> studieren, lernen Sie, in Strukturen zu denken. Wie passen diese Teile zusammen? K\u00f6nnen sie einander zuordnen? Was bleibt \u00fcbrig? <\/p>\n Das ist nicht nur abstrakte Theorie. So geht die Informatik mit Daten um. So funktioniert Logik. So verstehen wir Grenzen<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Georg Cantor hat nicht nur die Mathematik ver\u00e4ndert. Er hat es kaputt gemacht. 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Grad der Unendlichkeit<\/h2>\n
Warum das f\u00fcr das Mathematiklernen wichtig ist<\/h2>\n