Rekan-rekan saya meminta bantuan saya dengan angka. Saya tahu matematika, asumsi mereka. Ironisnya, saya payah dalam aritmatika mental.
Orang-orang salah memahami matematika. Mereka mengira ini adalah penjumlahan yang cepat, pengurangan yang dilakukan di kepala Anda saat membeli kopi. Tidak. Matematika sebenarnya adalah tentang membangun dunia.
Mitos Dasar
Anda mulai dengan aturan. Aksioma. Kebenaran dasar yang Anda setujui agar permainan dapat dimulai. Dari sana, Anda menumpuk barang. Himpunan menjadi bilangan, bilangan menjadi fungsi, fungsi berubah menjadi geometri. Semuanya bertumpu pada lantai awal itu.
Sejak lama, para matematikawan melakukan tindakan penyeimbangan yang berbahaya. Mereka menginginkan aturan sesedikit mungkin, namun cukup untuk menggambarkan alam semesta modern. Dan aturan itu harus terasa benar. Intuitif. Seperti mengatakan “ada himpunan kosong”. Itu masuk akal.
Pada tahun 1900-an, semua orang memilih ZFC. Zermelo-Fraen menetapkan teori dengan pilihan. Sembilan aturan. Itu saja. Itu adalah landasannya.
Atau begitulah yang mereka pikirkan.
Gödel Menghancurkan Semuanya
Para matematikawan menyukai landasan mereka. Mereka memimpikan sebuah sistem yang terdiri dari dua hal sekaligus:
- Lengkap. Setiap kebenaran bisa dibuktikan.
- Konsisten. Tidak boleh ada kontradiksi.
1931 tiba. Masukkan Kurt Godel. Dua puluh lima tahun. Dia menjatuhkan bom yang memecahkan fondasinya.
Teorema Ketidaklengkapan Pertamanya sangat brutal. Dikatakan bahwa dalam sistem yang kuat dan konsisten, terdapat pernyataan yang tidak dapat dibuktikan benar atau salah. Periode. Kemudian muncul Teorema Kedua. Lebih buruk lagi. Sistem tidak dapat membuktikan konsistensinya.
Kedengarannya akademis, tentu saja. Hal logika abstrak. Teman-temannya berharap itu adalah sebuah keanehan. Sebuah kesalahan teoretis yang aneh tanpa gigi. Mereka salah.
Gödel membuktikan bahwa kepastian ada batasnya. Anda tidak bisa mengetahui segalanya, bahkan dalam aturan yang Anda buat.
Ambil contoh sistem ZFC itu sendiri. Itu penuh dengan hal-hal yang tidak dapat dibuktikan. Hipotesis Kontinum adalah hipotesis terbesar. Apakah ada tak terhingga antara bilangan bulat dan bilangan real? Kami tidak tahu. Dan kita tidak akan pernah bisa membuktikannya dengan menggunakan alat yang kita miliki saat ini. Pertanyaannya hanya… tetap di sana.
Belum terpecahkan. Bahkan tidak dapat dipecahkan.
Jadi ya, Anda bisa membangun dunia dari aksioma. Anda dapat naik dari set sederhana ke topologi kompleks. Namun strukturnya berlubang. Titik buta yang tertanam di mana kebenaran tersembunyi, selamanya di luar jangkauan.
Mengapa pikiran mendambakan penyelesaian padahal penyelesaian tidak mungkin?
