De binominale verdeling is een statistisch werkpaard. Het helpt u de uitkomsten te voorspellen in situaties waarin u een vast aantal pogingen heeft en elke poging dezelfde kans op succes heeft.
Zie het als de wiskunde achter “wat zijn de kansen?”
Dit model is van toepassing op discrete processen. De regels zijn streng. Je hebt een vast aantal pogingen nodig. Elke proef moet onafhankelijk zijn. De kans op succes blijft constant. Als een van deze voorwaarden wordt verbroken, werkt het binomiale model niet meer.
Het begon met kansspelen. Jakob Bernoulli formaliseerde het in 1713. Zijn bewijs kwam uit nadat hij stierf. Hij toonde aan dat de waarschijnlijkheid om precies k successen te behalen in n pogingen overeenkomt met de k de term in de uitbreiding van (p + q)^n. Hier is p de kans op succes. q is de kans op falen, wat eenvoudigweg 1 – p is.
Die uitbreiding is waar de naam vandaan komt. Twee termen. Verheven tot een macht. Binomiaal.
Laten we eens naar een concreet voorbeeld kijken. Je gooit 50 keer met een dobbelsteen. Je wilt weten hoe groot de kans is dat je precies 10 zessen krijgt.
De kans dat je een zes gooit is 1/6. De kans dat je geen zes gooit is 5/6. Dus p = 1/6 en q = 5/6. De formule kijkt naar de 10e term (geteld vanaf nul) in de uitbreiding van (5/6 + 1/6)^50.
Het resultaat is ongeveer 0,1156. Ongeveer 11,5%. Niet zeldzaam, maar niet gegarandeerd.
Dit is niet alleen theoretisch. Het is praktisch. Het vertelt u hoe waarschijnlijk bepaalde uitkomsten zijn bij herhaalde gebeurtenissen.
De Mendel-controverse
In 1936 gebruikte Ronald Fisher dit instrument om een van de grootste namen in de wetenschap uit te dagen. Gregor Mendel publiceerde zijn erwtengenetica-experimenten in 1866. Ze werden de basis van de moderne genetica.
Fisher analyseerde de gegevens van Mendel opnieuw met behulp van de binominale verdeling. De erfelijkheidswetten van Mendel voorspelden dat driekwart van de nakomelingen in een bepaalde kruising gele erwten zouden zijn.
Mendel telde in één experiment 8.023 erwten. Het gemiddelde aantal gele erwten zou ongeveer 6.017 moeten zijn. Mendel rapporteerde 6.022 gele erwten.
Dat is ongelooflijk dichtbij.
Fisher berekende de waarschijnlijkheid van zo’n nauwe match. Het gebeurde slechts ongeveer 1 op de 10 keer. Dat is verdacht goed.
Mendel had zeven verschillende experimenten. Ze kwamen allemaal vrijwel perfect overeen met de verwachte binomiale waarden. Er was zelfs een kleine rekenfout van Mendel, maar het eindresultaat paste nog steeds te goed in het model.
Fisher publiceerde zijn bevindingen. Hij zinspeelde op wetenschappelijke bedrog. Heeft Mendel zijn gegevens aangepast aan de theorie? Het debat gaat door. Niemand heeft fraude definitief bewezen. Maar de statistische anomalie blijft bestaan.
Waarom dit voor u belangrijk is
Als u de binominale verdeling begrijpt, kunt u patronen ontdekken. Het helpt je geluk van vaardigheid te scheiden. Het helpt u te begrijpen wanneer gegevens ‘te mooi lijken om waar te zijn’.
U gebruikt het elke keer dat u risico’s bij herhaalde gebeurtenissen beoordeelt.
- Coin flips : Hoeveel kop in 100 worpen?
- Kwaliteitscontrole : Hoeveel defecte artikelen in een batch van 1.000?
- Marketing : hoeveel klikken uit 1000 advertentievertoningen?
De wiskunde blijft hetzelfde. De context verandert.
De sleutel is weten wanneer je het moet toepassen. Je hebt onafhankelijkheid nodig. Je hebt een vaste waarschijnlijkheid nodig. Je hebt een bepaald aantal pogingen nodig.
Als die bestaan, de binominale waarde