Georg Cantor veranderde niet alleen de wiskunde. Hij heeft het gebroken. <\/p>\n
Deze Duitse wiskundige, geboren in Sint-Petersburg in 1845, keek naar getallen en zag iets wat anderen misten. Voor hem was oneindigheid een vaag concept. Een groot aantal dat bleef doorgaan. Maar Cantor zag het als een plek. Een landschap met verschillende regio’s, verschillende afmetingen en verschillende regels. <\/p>\n
Hij werd de grondlegger van de verzamelingenleer<\/strong> door getalsystemen als complete entiteiten te behandelen. Hij keek niet alleen naar individuele rationale getallen. Hij keek naar de hele groep. De hele set ervan. Deze perspectiefverschuiving leidde tot een ontdekking die voor de meeste mensen nog steeds verkeerd aanvoelt. <\/p>\n Niet alle oneindigheden zijn gelijk. <\/p>\n Het eerste dat Cantor bewees, was dat sommige oneindige verzamelingen kunnen worden geteld. Neem de rationale getallen. Dit zijn breuken. Elk getal dat u kunt schrijven als \u00e9\u00e9n geheel getal gedeeld door een ander geheel getal. Het lijkt erop dat er veel meer breuken zijn dan het tellen van getallen (1, 2, 3…). <\/p>\n Cantor toonde een \u00e9\u00e9n-op-\u00e9\u00e9n-correspondentie. Hij koppelde elk rationaal getal aan een uniek telgetal. Geen enkele weggelaten. Geen herhaald. <\/p>\n De verzameling rationale getallen is telbaar. <\/p>\n<\/blockquote>\n Dit betekende dat de oneindigheid van breuken dezelfde “grootte” had als de oneindigheid van hele getallen. Wiskundigen noemen dit aftelbare oneindigheid. Het is beheersbaar. Je kunt het vermelden. Je kunt het indexeren. <\/p>\n Maar toen kwam de echte schok. <\/p>\n Cantor richtte zijn aandacht op irrationele getallen. Getallen zoals pi of de wortel van twee. Deze decimalen gaan eeuwig door zonder te herhalen. Ze vullen de gaten tussen breuken. Cantor bewees dat een dergelijke correspondentie hier niet bestaat. <\/p>\n Je kunt ze niet koppelen aan telnummers. Het zijn er simpelweg te veel. <\/p>\n Deze set is ontelbaar. Het is groter. Het is een grotere oneindigheid. <\/p>\n Deze ontdekking dwong Cantor om wat hij transfiniete getallen noemde te classificeren. Dit zijn graden van oneindigheid. <\/p>\n Als je oneindigheid als een hoogte beschouwt, liet Cantor zien dat het niet slechts \u00e9\u00e9n hoge piek is. Het is een bergketen. Sommige pieken zijn hoger dan andere. De oneindigheid van re\u00eble getallen is hoger dan de oneindigheid van telgetallen. <\/p>\n Hij kwam er niet alleen achter door te raden. Hij gebruikte strikte logica. Hij vergeleek de grootte van sets rechtstreeks. Als je elk element in set A kunt matchen met set B zonder restjes, zijn ze even groot. Als je dat niet kunt, is er \u00e9\u00e9n groter. <\/p>\n Dit is de reden waarom het begrijpen van Cantors diagonale argument<\/strong> belangrijk is. Het is het bewijs dat de echte getallen ontelbaar zijn. Het toont een concrete manier om een \u200b\u200bnummer te vinden dat niet op een lijst staat die u probeert samen te stellen. <\/p>\n De meeste mensen horen op de middelbare school niet meer over Cantor. Of hoor helemaal nooit over hem. Ze leren wiskunde als een reeks statische regels. Toevoegen. Aftrekken. Vermenigvuldigen. Verdeling. <\/p>\n Cantor leert ons dat wiskunde dynamisch is. Het gaat over relaties tussen groepen. Niet alleen individuele cijfers. <\/p>\n Als je de basisbeginselen van de verzamelingenleer<\/strong> bestudeert, leer je in structuren te denken. Hoe passen deze stukken in elkaar? Kunnen ze elkaar in kaart brengen? Wat is er over? <\/p>\n Dit is niet alleen abstracte theorie. Het is hoe de informatica omgaat met gegevens. Het is hoe logica werkt. Het is hoe we grenzen begrijpen<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Georg Cantor veranderde niet alleen de wiskunde. Hij heeft het gebroken. Deze Duitse wiskundige, geboren in Sint-Petersburg in 1845, keek naar getallen en zag iets wat anderen misten. Voor hem was oneindigheid een vaag concept. Een groot aantal dat bleef doorgaan. Maar Cantor zag het als een plek. Een landschap met verschillende regio’s, verschillende afmetingen […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"tdm_status":"","tdm_grid_status":""},"categories":[50],"tags":[],"wpm_language_slugs":{"cs":"uzasna-matematika-nekonecnych-dimenzi-teorie-mnozin-georga-cantora","de":"die-uberraschende-mathematik-unendlicher-grosen-georg-cantors","en":"the-surprising-math-of-infinite-sizes-georg-cantors-set-theory","es":"la-sorprendente-matematica-de-los-tamanos-infinitos-explicacion-de","fr":"les-mathematiques-surprenantes-des-tailles-infinies-la-theorie-des","id":"matematika-mengejutkan-dengan-ukuran-tak-terbatas-penjelasan-teori","it":"la-sorprendente-matematica-delle-dimensioni-infinite-spiegazione-della","nl":"de-verrassende-wiskunde-van-oneindige-maten-de-verzamelingentheorie","pl":"niesamowita-matematyka-nieskonczonych-wymiarow-teoria-mnogosci","pt":"a-surpreendente-matematica-dos-tamanhos-infinitos-a-teoria-dos","ru-ru":"udivitelnaja-matematika-beskonechnyh-razmerov-teorija-mnozhestv-georga","uk-ua":"divovizhna-matematika-neskinchennih-rozmiriv-teorija-mnozhin-georga"},"amp_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8041"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8041"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8041\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8041"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8041"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8041"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Het ontelbare tellen<\/h2>\n
\n
Graden van oneindigheid<\/h2>\n
Waarom dit belangrijk is voor het leren van wiskunde<\/h2>\n