Georg Cantor zmieni\u0142 nie tylko matematyk\u0119. Z\u0142ama\u0142 to. <\/p>\n
Urodzony w Petersburgu w 1845 roku, ten niemiecki matematyk patrzy\u0142 na liczby i widzia\u0142 to, co inni przeoczyli. Przed nim niesko\u0144czono\u015b\u0107 by\u0142a poj\u0119ciem niejasnym. Du\u017ca liczba, kt\u00f3ra trwa wiecznie. Ale Kantor widzia\u0142 w tym miejsce. Krajobraz z r\u00f3\u017cnymi regionami, r\u00f3\u017cnymi rozmiarami i r\u00f3\u017cnymi zasadami. <\/p>\n
Zosta\u0142 tw\u00f3rc\u0105 teorii mnogo\u015bci<\/strong>, uznaj\u0105cej uk\u0142ady liczbowe za obiekty integralne. Nie patrzy\u0142 tylko na pojedyncze liczby wymierne. Spojrza\u0142 na ca\u0142\u0105 grup\u0119. Du\u017co numer\u00f3w do wszystkiego. Ta zmiana perspektywy doprowadzi\u0142a do odkrycia, kt\u00f3re nadal jest aktualne dla wielu ludzi. <\/p>\n Nie wszystkie niesko\u0144czono\u015bci s\u0105 r\u00f3wne. <\/p>\n Przede wszystkim Cantor udowodni\u0142, \u017ce niekt\u00f3re zbiory niesko\u0144czone mo\u017cna policzy\u0107. We\u017amy liczby wymierne. To s\u0105 u\u0142amki. Dowolna liczba, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna zapisa\u0107 jako jedn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 podzielon\u0105 przez drug\u0105. Wydaje si\u0119, \u017ce u\u0142amk\u00f3w jest znacznie wi\u0119cej ni\u017c liczb naturalnych (1, 2, 3…). <\/p>\n Cantor pokaza\u0142 korespondencj\u0119 jeden do jednego. Dopasowa\u0142 ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105 do unikalnej liczby naturalnej. Nic nie pozostaje bez pary. Znowu nic si\u0119 nie sta\u0142o. <\/p>\n Zbi\u00f3r liczb wymiernych jest przeliczalny. <\/p>\n<\/blockquote>\n Oznacza\u0142o to, \u017ce niesko\u0144czono\u015b\u0107 u\u0142amk\u00f3w mia\u0142a ten sam \u201erozmiar\u201d co niesko\u0144czono\u015b\u0107 liczb ca\u0142kowitych. Matematycy nazywaj\u0105 to przeliczaln\u0105 niesko\u0144czono\u015bci\u0105. To jest do opanowania. Mo\u017cna go wymieni\u0107. Mo\u017cna to policzy\u0107. <\/p>\n Ale potem nast\u0105pi\u0142 prawdziwy szok. <\/p>\n Cantor zwr\u00f3ci\u0142 swoj\u0105 uwag\u0119 na liczby niewymierne. Liczby takie jak pi lub pierwiastek kwadratowy z dw\u00f3ch. Te u\u0142amki dziesi\u0119tne ci\u0105gn\u0105 si\u0119 w niesko\u0144czono\u015b\u0107, bez powt\u00f3rze\u0144. Wype\u0142niaj\u0105 luki pomi\u0119dzy u\u0142amkami. Cantor udowodni\u0142, \u017ce tutaj taka korespondencja jest niemo\u017cliwa. <\/p>\n Nie mo\u017cna ich dopasowa\u0107 do liczb naturalnych. Jest ich po prostu za du\u017co. <\/p>\n Ta mnogo\u015b\u0107 jest niepoliczalna. Jest wi\u0119kszy. To jest wi\u0119ksza niesko\u0144czono\u015b\u0107. <\/p>\n Odkrycie to sk\u0142oni\u0142o Cantora do sklasyfikowania tego, co nazwa\u0142 liczbami pozasko\u0144czonymi. To s\u0105 stopnie niesko\u0144czono\u015bci. <\/p>\n Je\u015bli pomy\u015blisz o niesko\u0144czono\u015bci jak o wysoko\u015bci, Cantor pokaza\u0142, \u017ce nie jest to tylko jeden wysoki szczyt. To jest pasmo g\u00f3rskie. Niekt\u00f3re szczyty s\u0105 wy\u017csze ni\u017c inne. Niesko\u0144czono\u015b\u0107 liczb rzeczywistych jest wi\u0119ksza ni\u017c niesko\u0144czono\u015b\u0107 liczb naturalnych. <\/p>\n Nie tylko si\u0119 tego domy\u015bla\u0142. Zastosowa\u0142 \u015bcis\u0142\u0105 logik\u0119. Bezpo\u015brednio por\u00f3wna\u0142 rozmiary zestaw\u00f3w. Je\u015bli mo\u017cesz dopasowa\u0107 ka\u017cdy element zbioru A do elementu zbioru B bez reszty, b\u0119d\u0105 one mia\u0142y ten sam rozmiar. Je\u015bli nie mo\u017cesz, to jedno jest wi\u0119ksze od drugiego. <\/p>\n Dlatego wa\u017cne jest zrozumienie argumentu diagonalnego Cantora<\/strong>. To dow\u00f3d na to, \u017ce liczby rzeczywiste s\u0105 nieprzeliczalne. Pokazuje konkretny spos\u00f3b znalezienia numeru, kt\u00f3rego nie ma na \u017cadnej li\u015bcie, kt\u00f3r\u0105 pr\u00f3bujesz utworzy\u0107. <\/p>\n Wi\u0119kszo\u015b\u0107 ludzi przestaje s\u0142ysze\u0107 o Cantorze w szkole \u015bredniej. Albo w og\u00f3le o tym nie s\u0142ysz\u0105. Ucz\u0105 si\u0119 matematyki jako zbioru statycznych regu\u0142. Dodatek. Odejmowanie. Mno\u017cenie. Dzia\u0142. <\/p>\n Cantor uczy nas, \u017ce matematyka jest dynamiczna. Chodzi o relacje mi\u0119dzy grupami. I nie chodzi tylko o pojedyncze liczby. <\/p>\n Studiuj\u0105c podstawy teorii mnogo\u015bci<\/strong>, uczysz si\u0119 my\u015ble\u0107 strukturami. Jak te cz\u0119\u015bci pasuj\u0105 do siebie? Czy mog\u0105 na siebie nachodzi\u0107? Co zosta\u0142o? <\/p>\n To nie jest tylko abstrakcyjna teoria. W ten spos\u00f3b informatyka przetwarza dane. Tak dzia\u0142a logika. Tak rozumiemy ograniczenia.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Georg Cantor zmieni\u0142 nie tylko matematyk\u0119. Z\u0142ama\u0142 to. Urodzony w Petersburgu w 1845 roku, ten niemiecki matematyk patrzy\u0142 na liczby i widzia\u0142 to, co inni przeoczyli. Przed nim niesko\u0144czono\u015b\u0107 by\u0142a poj\u0119ciem niejasnym. Du\u017ca liczba, kt\u00f3ra trwa wiecznie. Ale Kantor widzia\u0142 w tym miejsce. Krajobraz z r\u00f3\u017cnymi regionami, r\u00f3\u017cnymi rozmiarami i r\u00f3\u017cnymi zasadami. Zosta\u0142 tw\u00f3rc\u0105 teorii […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"tdm_status":"","tdm_grid_status":""},"categories":[50],"tags":[],"wpm_language_slugs":{"cs":"uzasna-matematika-nekonecnych-dimenzi-teorie-mnozin-georga-cantora","de":"die-uberraschende-mathematik-unendlicher-grosen-georg-cantors","en":"the-surprising-math-of-infinite-sizes-georg-cantors-set-theory","es":"la-sorprendente-matematica-de-los-tamanos-infinitos-explicacion-de","fr":"les-mathematiques-surprenantes-des-tailles-infinies-la-theorie-des","id":"matematika-mengejutkan-dengan-ukuran-tak-terbatas-penjelasan-teori","it":"la-sorprendente-matematica-delle-dimensioni-infinite-spiegazione-della","nl":"de-verrassende-wiskunde-van-oneindige-maten-de-verzamelingentheorie","pl":"niesamowita-matematyka-nieskonczonych-wymiarow-teoria-mnogosci","pt":"a-surpreendente-matematica-dos-tamanhos-infinitos-a-teoria-dos","ru-ru":"udivitelnaja-matematika-beskonechnyh-razmerov-teorija-mnozhestv-georga","uk-ua":"divovizhna-matematika-neskinchennih-rozmiriv-teorija-mnozhin-georga"},"amp_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8041"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8041"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8041\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8041"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8041"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.schooler.org.ua\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8041"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Liczenie niepoliczalnego<\/h2>\n
\n
Stopnie niesko\u0144czono\u015bci<\/h2>\n
Dlaczego jest to wa\u017cne w nauce matematyki<\/h2>\n