Die Sekantenfunktion ist eine der sechs wichtigsten trigonometrischen Funktionen, die Sie kennen sollten. Sie könnten darauf stoßen, wenn Sie die Grundlagen der Geometrie oder Analysis studieren. Obwohl es oft im Schatten von Sinus und Cosinus steht, spielt es eine besondere Rolle für das Verständnis rechtwinkliger Dreiecke und fortgeschrittener Mathematik.
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC wird die Sekante des Winkels A einfach definiert. Dies ist das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Seite neben dem Winkel A.
$$ \sec A = \frac{\text{Länge der Hypotenuse}}{\text{Länge der Seite neben dem Winkel} A} $$
Die anderen fünf Funktionen in dieser Reihe sind Sinus (sin ), Kosinus (cos ), Tangens (tan ), Kosekans (csc ) und Kotangens (cot ). Wenn Sie diese Zusammenhänge verstehen, können Sie Probleme schneller lösen.
Warum Sie Sekanten berücksichtigen müssen
Die meisten Schüler konzentrieren sich auf Sinus und Cosinus, da diese am häufigsten vorkommen. Allerdings ist die Sekante der Kehrwert des Kosinus. Das bedeutet:
$$ \frac{1}{\sec A} = \cos A $$
Diese Beziehung ist nützlich. Wenn Sie den Kosinus des Winkels kennen, können Sie ihn invertieren, um den Sekantenwert zu erhalten. Dafür benötigen Sie keinen weiteren Tisch.
Es gibt auch eine wichtige Identität, die die Sekante und die Tangente verbindet. Nach der Definition des Tangens ($ \tan A = \frac{\text{entgegengesetztes}}{\text{benachbartes}} $) und dem Satz des Pythagoras erhalten wir:
$$ \tan^2 A + 1 = \sec^2 A $$
Diese Identität ist nützlich, um Gleichungen zu vereinfachen. Bei der Lösung komplexer trigonometrischer Probleme können Sie zwischen Tangenten- und Sekantentermen wechseln.
Verhalten der Sekantenfunktion
Wenn Sie die Sekantenfunktion grafisch darstellen, sieht sie wie eine Reihe U-förmiger Kurven aus. Es handelt sich nicht um eine glatte Welle wie Sinus oder Cosinus.
Wenn der Winkel A im Bogenmaß angegeben wird, beträgt die Periode dieser Funktion $2\pi$. Wichtige Dinge zu wissen:
- Bei 0 ist der Wert 1.
- Bei $\pi$ beträgt der Wert -1.
- Die Funktion verzweigt nach $\pi/2$. Wenn Sie sich von links nähern, schießt es in Richtung positiver Unendlichkeit, und wenn Sie sich von rechts nähern, wird es in Richtung negativer Unendlichkeit schießen.
- Es unterscheidet sich wiederum in $3\pi/2$. Gehen Sie von links zur negativen Unendlichkeit und von rechts zur positiven Unendlichkeit.
Die Funktion ist gerade. Das bedeutet $\sec(-A) = \sec A$. Der Graph ist entlang der y-Achse symmetrisch.
Differenzierung und Integration
Wenn Sie sich mit Analysis befassen, sollten Sie wissen, wie man mit Sekanten bei Differenzierung und Integration umgeht.
Die Ableitung von $\sec x$ nach $x$ ist:
$$ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x $$
Unbestimmte Integrale sind noch schwieriger. Dazu gehören natürliche Logarithmen.
$$ \int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$$
wobei $C$ die Integrationskonstante und $\ln$ der natürliche Logarithmus ist.
Häufige Fragen zu Secant
**Wie kann ich
