Georg Cantor n’a pas seulement changé les mathématiques. Il l’a cassé.
Né à Saint-Pétersbourg en 1845, ce mathématicien allemand a observé des chiffres et a vu quelque chose que d’autres n’ont pas remarqué. Avant lui, l’infini était un concept vague. Un grand nombre qui a continué. Mais Cantor y voyait un lieu. Un paysage avec différentes régions, différentes tailles et différentes règles.
Il est devenu le fondateur de la théorie des ensembles en traitant les systèmes numériques comme des entités complètes. Il ne s’est pas contenté de s’intéresser aux nombres rationnels individuels. Il regarda tout le groupe. L’ensemble d’entre eux. Ce changement de perspective a conduit à une découverte qui semble encore erronée pour la plupart des gens.
Tous les infinis ne sont pas égaux.
Compter les indénombrables
La première chose que Cantor a prouvée, c’est que certains ensembles infinis peuvent être dénombrés. Prenons les nombres rationnels. Ce sont des fractions. N’importe quel nombre que vous pouvez écrire sous la forme d’un entier divisé par un autre. Il semble qu’il y ait bien plus de fractions que de compter des nombres (1, 2, 3…).
Cantor a montré une correspondance individuelle. Il a associé chaque nombre rationnel à un nombre unique. Aucun n’a été laissé de côté. Aucun ne s’est répété.
L’ensemble des nombres rationnels est dénombrable.
Cela signifiait que l’infinité des fractions avait la même « taille » que l’infinité des nombres entiers. Les mathématiciens appellent cela l’infini dénombrable. C’est gérable. Vous pouvez le lister. Vous pouvez l’indexer.
Mais ensuite vint le véritable choc.
Cantor tourna son attention vers les nombres irrationnels. Des nombres comme pi ou la racine carrée de deux. Ces décimales durent indéfiniment sans se répéter. Ils comblent les espaces entre les fractions. Cantor a prouvé qu’aucune correspondance de ce type n’existe ici.
Vous ne pouvez pas les associer au comptage de nombres. Il y en a tout simplement trop.
Cet ensemble est indénombrable. C’est plus grand. C’est un plus grand infini.
Degrés d’infini
Cette découverte obligea Cantor à classer ce qu’il appelait les nombres transfinis. Ce sont des degrés de l’infini.
Si vous considérez l’infini comme une hauteur, Cantor a montré qu’il ne s’agit pas seulement d’un grand sommet. C’est une chaîne de montagnes. Certains sommets sont plus élevés que d’autres. L’infinité des nombres réels est supérieure à l’infinité des nombres comptés.
Il ne l’a pas découvert simplement en devinant. Il a utilisé une logique rigoureuse. Il a comparé directement la taille des décors. Si vous pouvez faire correspondre chaque élément de l’ensemble A à l’ensemble B sans restes, ils ont la même taille. Si vous ne pouvez pas, un est plus gros.
C’est pourquoi il est important de comprendre l’argument diagonal de Cantor. C’est la preuve que les chiffres réels sont innombrables. Il montre un moyen concret de trouver un numéro qui ne figure sur aucune liste que vous essayez de créer.
Pourquoi c’est important pour l’apprentissage des mathématiques
La plupart des gens n’entendent plus parler de Cantor au lycée. Ou ne jamais entendre parler de lui. Ils apprennent les mathématiques comme un ensemble de règles statiques. Ajouter. Soustraire. Multiplier. Diviser.
Cantor nous enseigne que les mathématiques sont dynamiques. Il s’agit des relations entre les groupes. Pas seulement des chiffres individuels.
Lorsque vous étudiez les bases de la théorie des ensembles, vous apprenez à penser en structures. Comment ces pièces s’assemblent-elles ? Peuvent-ils se superposer ? Que reste-t-il ?
Ce n’est pas seulement une théorie abstraite. C’est ainsi que l’informatique gère les données. C’est ainsi que fonctionne la logique. C’est ainsi que nous comprenons les limites
