Rozkład dwumianowy jest podstawą statystyki. Pomaga przewidzieć wyniki w sytuacjach, gdy liczba prób jest stała, a prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest takie samo.
Pomyśl o tym jak o matematyce stojącej za pytaniem: „Jakie są szanse?”
Model ten dotyczy procesów dyskretnych. Zasady tutaj są surowe. Potrzebujesz stałej liczby prób. Każdy test musi być niezależny. Prawdopodobieństwo sukcesu musi pozostać stałe. Jeśli przynajmniej jeden z tych warunków zostanie naruszony, model dwumianowy przestaje działać.
Zaczęło się od gier losowych. Jacob Bernoulli sformalizował to w 1713 roku. Jego dowód został opublikowany pośmiertnie. Pokazał, że prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie k sukcesów w n próbach odpowiada k -temu wyrazowi rozwinięcia (p + q)^n. Tutaj p to prawdopodobieństwo sukcesu. q to prawdopodobieństwo niepowodzenia, które jest równe 1 – p.
Z tego rozkładu pochodzi nazwa. Dwa terminy. Podniesiony do potęgi. Dwumianowy.
Spójrzmy na konkretny przykład. Rzucasz kostką 50 razy. Musisz znać prawdopodobieństwo, że szóstka zostanie wyrzucona dokładnie 10 razy.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo, że nie wyrzucisz szóstki, wynosi 5/6. Zatem p = 1/6 i q = 5/6. Wzór uwzględnia 10-ty wyraz (licząc od zera) rozwinięcia (5/6 + 1/6)^50.
Wynik wynosi około 0,1156. Około 11,5%. Nie jest to rzadkie zdarzenie, ale też nie jest gwarantowane.
To nie jest tylko teoria. To jest praktyka. Pokazuje, jak prawdopodobne są określone wyniki, gdy zdarzenia się powtórzą.
Kontrowersje wokół Mendla
W 1936 roku Ronald Fisher użył tego narzędzia, aby zakwestionować jedno z najsłynniejszych nazwisk w nauce. Gregor Mendel opublikował swoje doświadczenia z genetyki grochu w 1866 roku. Stały się one podstawą współczesnej genetyki.
Fisher ponownie przeanalizował dane Mendla, korzystając z rozkładu dwumianowego. Prawa dziedziczności Mendla przewidywały, że 3/4 potomstwa w danej krzyżówce będzie miało nasiona grochu żółtego.
W jednym doświadczeniu Mendel naliczył 8023 groszki. Oczekiwana średnia liczba grochu żółtego wynosiłaby około 6017. Mendel zgłosił 6022 żółtego groszku.
Jest niesamowicie blisko.
Fisher obliczył prawdopodobieństwo takiego zbiegu okoliczności. Zdarzyło się to tylko 1 na 10 razy. Wygląda to podejrzanie dobrze.
Mendel przeprowadził siedem różnych eksperymentów. Wszystkie pokrywały się niemal idealnie z oczekiwanymi wartościami rozkładu dwumianowego. W jednym z nich wystąpił nawet niewielki mendlowski błąd obliczeniowy, ale ostateczny wynik i tak zbyt dobrze pasował do modelu.
Fischer opublikował swoje ustalenia. Wskazywał na fałszerstwo naukowe. Czy Mendel zmienił swoje dane, aby dopasować je do teorii? Debata trwa. Nikt jednoznacznie nie udowodnił oszustwa. Ale statystyczna anomalia pozostaje.
Dlaczego jest to dla Ciebie ważne?
Zrozumienie rozkładu dwumianowego pomaga zidentyfikować wzorce. Pomaga oddzielić szczęście od umiejętności. Pomaga zrozumieć, kiedy dane wydają się „zbyt piękne, aby mogły być prawdziwe”.
Używasz go za każdym razem, gdy oceniasz ryzyko w przypadku zdarzeń powtarzających się.
- Rzut monetą : Ile orłów wypadnie w 100 rzutach?
- Kontrola jakości : Ile wadliwych produktów znajduje się w partii 1000 sztuk?
- Marketing : Ile kliknięć przypada na 1000 wyświetleń reklam?
Matematyka pozostaje taka sama. Kontekst się zmienia.
Kluczem jest wiedzieć, kiedy go użyć. Potrzebujesz niezależności. Chcesz stałego prawdopodobieństwa. Potrzebujesz określonej liczby prób.
Jeśli te warunki są spełnione, dwumian
