Georg Cantor nezměnil jen matematiku. Rozbil to.
Tento německý matematik narozený v Petrohradě v roce 1845 se podíval na čísla a viděl, co ostatním uniklo. Před ním bylo nekonečno vágní pojem. Velké číslo, které trvá věčně. Ale Kantor v tom viděl místo. Krajina s různými regiony, různými velikostmi a různými pravidly.
Stal se zakladatelem teorie množin, považoval soustavy čísel za integrální objekty. Nedíval se jen na jednotlivá racionální čísla. Podíval se na celou skupinu. Na všechno spousta čísel. Tento posun v perspektivě vedl k objevu, který dodnes platí pro mnoho lidí.
Ne všechna nekonečna jsou si rovna.
Počítání nespočitatelných
Cantor především dokázal, že některé nekonečné množiny lze spočítat. Vezměme racionální čísla. Toto jsou zlomky. Jakékoli číslo, které lze zapsat jako jedno celé číslo dělené druhým. Zdá se, že zlomků je mnohem více než přirozených čísel (1, 2, 3…).
Cantor ukázal osobní korespondenci. Každé racionální číslo přiřadil k jedinečnému přirozenému číslu. Nic nezůstane bez páru. Opět se nic nestalo.
Množina racionálních čísel je spočetná.
To znamenalo, že nekonečno zlomků mělo stejnou „velikost“ jako nekonečno celých čísel. Matematici tomu říkají spočetné nekonečno. Dá se to zvládnout. Může být uveden. Dá se očíslovat.
Pak ale přišel pořádný šok.
Cantor obrátil svou pozornost k iracionálním číslům. Čísla jako pí nebo druhá odmocnina ze dvou. Tato desetinná místa pokračují navždy bez opakování. Vyplňují mezery mezi zlomky. Cantor dokázal, že taková korespondence je zde nemožná.
Nemůžete je přiřadit k přirozeným číslům. Je jich prostě moc.
Toto množství je nespočetné. Je větší. Toto je větší nekonečno.
Stupně nekonečna
Tento objev vedl Cantora ke klasifikaci toho, co nazýval transfinitní čísla. To jsou stupně nekonečna.
Pokud uvažujete o nekonečnu jako o výšce, Cantor ukázal, že to není jen jeden vysoký vrchol. Toto je pohoří. Některé vrcholy jsou vyšší než jiné. Nekonečno reálných čísel je vyšší než nekonečno přirozených čísel.
Nejen o tom hádal. Používal přísnou logiku. Přímo porovnával velikosti sad. Pokud můžete beze zbytku porovnat každý prvek množiny A s prvkem množiny B, budou mít stejnou velikost. Pokud nemůžete, pak je jeden větší než druhý.
Proto je důležité pochopit Cantorův diagonální argument. To je důkaz, že reálná čísla jsou nespočítatelná. Ukazuje konkrétní způsob, jak najít číslo, které není na žádném seznamu, který se pokoušíte vytvořit.
Proč je to důležité pro učení matematiky
Většina lidí na střední škole přestane o Cantorovi slyšet. Nebo o tom nikdy neslyšeli. Učí se matematiku jako soubor statických pravidel. Přidání. Odčítání. Násobení. Divize.
Cantor nás učí, že matematika je dynamická. Jde o vztahy mezi skupinami. A nejen o jednotlivých číslech.
Studiem základů teorie množin se naučíte myslet ve strukturách. Jak do sebe tyto části zapadají? Mohou se navzájem mapovat? Co zbylo?
To není jen abstraktní teorie. Informatika takto zpracovává data. Takhle funguje logika. Takto chápeme limity.
