Abraham de Moivre a vécu une vie définie par le déplacement et la rigueur intellectuelle. Né à Vitry, en France, le 26 mai 1667, il mourra à Londres le 27 novembre 1754. Il n’était pas qu’un mathématicien. C’était un pionnier. Ses travaux ont jeté les bases de la trigonométrie analytique et, plus important encore, de la théorie moderne des probabilités.
Son enfance a été marquée par des troubles politiques et religieux. Huguenot français, de Moivre a été emprisonné lorsque l’édit de Nantes a été révoqué en 1685. La révocation ciblait les protestants. Après un bref passage en prison, il s’enfuit en Angleterre. Le voyage a tout changé.
A Londres, il n’a pas trouvé de richesse. Il a trouvé une communauté. Il se lie d’amitié avec Sir Isaac Newton et l’astronome Edmond Halley. Ce réseau lui valut un siège à la Royal Society de Londres en 1697. Il fut ensuite élu aux académies de Berlin et de Paris. C’étaient de grands honneurs. Pourtant, ils n’ont pas apporté la stabilité financière.
La vie précaire d’un génie
De Moivre a eu du mal à obtenir un poste universitaire permanent. Il a survécu en tant que tuteur. Il a également consulté sur les jeux de hasard et les assurances. Cette expérience pratique du risque et du hasard a profondément influencé son travail ultérieur. Il considérait les probabilités non pas comme une théorie abstraite, mais comme un outil permettant de comprendre l’incertitude du monde réel.
Sa première contribution majeure dans ce domaine est venue d’un article intitulé « De mensura sortis », rédigé en 1711. Il est paru dans Philosophical Transactions. Il développa cet article dans un livre intitulé La Doctrine des Chances en 1718.
La théorie des probabilités avait des racines antérieures. Blaise Pascal et Pierre de Fermat entamèrent la conversation par une correspondance inédite en 1654. Christiaan Huygens de Hollande publia De Ratiociniis in Ludo Aleae en 1657. Ces ouvrages se concentraient sur les jeux de dés. De Moivre a repris ces fondations et les a considérablement élargies.
Définir l’indépendance statistique
L’un des concepts les plus critiques de La Doctrine des Chances était la définition de l’indépendance statistique. De Moivre a déclaré que la probabilité d’un événement composé est le produit des probabilités de ses composantes. Cette règle s’applique lorsque ces événements sont statistiquement indépendants.
Cette définition reste aujourd’hui la pierre angulaire de la probabilité. C’est ainsi que nous calculons la probabilité que plusieurs événements indépendants se produisent ensemble.
Son livre incluait également de nombreux problèmes liés aux dés et autres jeux. Certains de ces problèmes étaient apparus dans Ars conjectandi de Jakob Bernoulli en 1713. L’ouvrage de Bernoulli fut publié avant le livre de Moivre mais après son article précédent. De Moivre ne s’est pas contenté de répéter ces problèmes. Il les a abordés différemment.
Il a dérivé les principes de probabilité de l’attente mathématique des événements. C’était l’inverse de la pratique actuelle. Aujourd’hui, nous commençons souvent par des axiomes de probabilité et en déduisons des attentes. De Moivre a commencé avec des attentes et a travaillé à rebours jusqu’aux probabilités.
Innovations analytiques
Son deuxième ouvrage majeur fut Miscellanea Analytica en 1730. Ce texte marqua un nouveau pas en avant. De Moivre a été le premier à utiliser l’intégrale de probabilité où l’intégrande est l’exponentielle d’une quadratique négative.
Cet outil mathématique deviendra essentiel dans les développements ultérieurs de la statistique. Cela a permis des calculs plus précis impliquant des distributions normales. Alors que toutes les implications de cette intégrale se dévoileraient au cours des siècles suivants, de Moivre
Abraham de Moivre a fait bien plus que simplement bricoler des chiffres. Il a essentiellement inventé l’approximation des factorielles qui porte le nom de James Stirling, malgré la mauvaise attribution. Pour les grandes valeurs de n, la formule estime n ! en utilisant la racine carrée de 2πn multipliée par e élevé à la puissance négative n et n à la n ème puissance.
Ce n’était pas seulement des mathématiques abstraites. En 1733, de Moivre appliqua cette approximation factorielle pour dériver la courbe de fréquence normale. Il l’a utilisé pour se rapprocher de la loi binomiale, comblant ainsi le fossé entre le comptage discret et la probabilité continue.
De la géométrie à l’analyse en passant par les nombres complexes
De Moivre a également été un pionnier dans l’utilisation de nombres complexes pour les fonctions trigonométriques. Il a développé l’identité qui porte désormais son nom : (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx.
Cette formule a fait passer la trigonométrie de la géométrie pure à l’analyse. Cela a permis aux mathématiciens de traiter les angles et les rotations par des manipulations algébriques plutôt que par une simple construction géométrique.
