Anda mungkin mempelajari perkalian sejak dini, tetapi apakah Anda benar-benar tahu apa yang sebenarnya terjadi?
Ini bukan sihir. Ini hanyalah cara yang lebih cepat untuk menambahkan.
Ambil 2 x 3. Itu bukan hanya dua angka yang bersebelahan. Ini adalah jalan pintas. Artinya Anda menambahkan angka 2, tiga kali terpisah.
2 + 2 + 2 = 6
Hasilnya 6. Prosesnya lebih sederhana. Anda menghemat waktu. Anda menghemat energi mental.
Inilah inti dari perkalian. Ini adalah alat dasar dalam aritmatika. Hal ini memungkinkan kita untuk menyingkat jumlah yang berulang. Daripada menulis rangkaian tambahan yang panjang, kami menggunakan satu simbol.
Namun memahami strukturnya membantu Anda menguasainya.
Bagian-Bagian Perkalian
Setiap soal perkalian memiliki tiga komponen utama. Jika Anda mengetahuinya, Anda dapat memecahkan masalah yang paling sulit sekalipun.
- Pengganda : Ini adalah angka yang diulang. Itu adalah “apa”.
- Pengganda : Ini memberi tahu Anda berapa kali harus mengulang pengganda. Ini adalah “berapa banyak”.
- Produk : Ini adalah hasil akhirnya.
Mari kita lihat contoh yang lebih besar.
45x3
Di sini, 45 adalah perkaliannya. Anda mengulanginya.
Angka 3 adalah pengganda. Anda melakukannya tiga kali.
Jadi, 45 x 3 sama dengan 45 + 45 + 45.
Tambahkan itu.
45 + 45 = 90
90 + 45 = 135
Produknya adalah 135.
Anda dapat menghabiskan waktu beberapa menit untuk menambahkan. Atau Anda bisa melipatgandakannya. Jawabannya sama. Prosesnya lebih cepat.
“Perkalian menyederhanakan proses. Daripada melakukan tiga penjumlahan terpisah, Anda melakukan satu operasi tunggal.”
Mengapa perbedaan ini penting? Karena semakin besar angkanya, penjumlahan menjadi tidak praktis. Coba tambahkan 123 ke dirinya sendiri sebanyak lima puluh kali dengan tangan. Anda akan membuat kesalahan. Anda akan merasa frustrasi. Anda tidak akan pernah selesai.
Perkalian mencegah hal itu. Itu berskala.
Siswa sering bingung membedakan angka yang mana. Apakah itu penting?
Secara teknis, dalam matematika murni, urutan tidak mengubah hasil kali. 2 x 3 sama dengan 3 x 2. Keduanya sama dengan 6.
Namun dalam soal cerita, urutannya menceritakan sebuah cerita.
Jika Anda memiliki 3 keranjang yang masing-masing berisi 2 buah apel.
Penggandanya adalah 2 (apel dalam setiap keranjang).
Penggandanya adalah 3 (jumlah keranjang).
Anda menambahkan 2, tiga kali.
Memahami struktur ini adalah langkah pertama. Setelah Anda melihat perkalian sebagai penjumlahan berulang, simbol abstrak mulai masuk akal.
Ini bukan tentang menghafal tabel secara membabi buta. Ini tentang melihat polanya.
Apa yang terjadi jika Anda menambahkan angka nol?
Apa yang terjadi jika Anda mengalikannya dengan satu?
Pertanyaan-pertanyaan ini mengarah pada aturan yang lebih dalam. Namun pertama-tama, Anda harus memahami dasar-dasarnya.
Fondasinya kokoh. Logikanya jelas.
Sekarang Anda hanya perlu berlatih.
Saat Anda mengalikan, pada dasarnya Anda melakukan penjumlahan berulang. Kedengarannya mendasar, tetapi memahami anatomi operasi membantu mencegah kesalahan yang ceroboh. Setiap soal perkalian memiliki tiga bagian berbeda.
Perkalian adalah bilangan yang dikalikan. Itu adalah nilai dasar. Pengganda (pengganda) adalah angka yang memberitahukan Anda berapa kali pengali harus dijumlahkan. Terakhir, ada producto (produk), yang merupakan hasil yang Anda dapatkan ketika semuanya menyatu.
Secara kolektif, pengganda dan pengali sering disebut sebagai faktor. Mengetahui perbedaannya penting saat Anda menjelaskan matematika kepada anak atau men-debug kode, meskipun matematika itu sendiri memperlakukan keduanya secara bergantian pada hasil akhirnya.
Simbol perkalian kebingungan
Ada mitos yang beredar bahwa tanda perkalian adalah “x”. Tidak. Simbol tradisionalnya adalah decussata —salib berbentuk seperti Salib St. Andrew (✕).
Jadi mengapa semua orang menggunakan “x”? Kepraktisan. Kebanyakan papan ketik tidak memiliki simbol ✕ yang mudah diakses. Mengetik “x” lebih cepat. Tapi inilah masalahnya. Dalam aljabar, “x” adalah variabel standar untuk nilai yang tidak diketahui. Melihat 5 x 3 jelas. Melihat 5 x x berantakan.
Untuk menghindari kebingungan, khususnya dalam ekspresi aljabar, gunakan titik (·) atau tanda bintang (*). Ini lebih bersih. Mereka memberi sinyal perkalian tanpa membajak slot variabel.
Gunakan titik (·) atau tanda bintang (*) dalam konteks aljabar untuk membedakan perkalian dengan variabel.
Cara mengalikan satu digit
Mulailah dengan dasar-dasarnya. Menghafal adalah kuncinya di sini. Anda tidak memerlukan kalkulator untuk 7 x 8. Jika ragu, Anda sedang membangun fondasi yang lambat untuk matematika yang rumit.
Berlatihlah menggunakan kartu flash atau latihan online. Bertujuan untuk kecepatan dan akurasi. Setelah satu digit otomatis, pindah ke angka yang lebih besar.
Mengalikan angka yang lebih besar
Perkalian panjang hanyalah perkalian satu digit yang diulang dengan manajemen nilai tempat.
- Sejajarkan angkanya. Letakkan angka yang lebih besar di atas.
- Kalikan digit demi digit. Mulai dari digit paling kanan angka terbawah.
- Baru. Jika hasilnya dua digit, simpan tempat puluhannya dan pindahkan ke kolom berikutnya.
- Shift left. Saat Anda berpindah ke digit berikutnya pada angka terbawah, geser hasil Anda satu tempat ke kiri. Tambahkan angka nol sebagai pengganti jika itu membantu Anda memvisualisasikan.
- Tambahkan sebagian produk. Jumlahkan semua hasil antara untuk mendapatkan produk akhir.
Katakanlah Anda menghitung 123 x 45.
- Kalikan 123 dengan 5. Hasilnya: 615.
- Kalikan 123 dengan 4. Hasilnya: 492.
- Shift 492 satu tempat ke kiri (4920).
- Tambahkan 615 + 4920 = 5535.
Itu mekanis. Itu membosankan. Itu dapat diandalkan.
Mengapa ini penting bagi siswa
Siswa sering melewatkan pertanyaan “mengapa” dan hanya menginginkan jawabannya. Namun memahami faktor vs. perkalian akan membantu saat memfaktorkan polinomial nanti. Ini membantu ketika memahami
Perkalian besar: el arte del acarreo
Saat Anda berurusan dengan angka multi-digit, format horizontal (seperti 12 x 6 = 72 ) dengan cepat menjadi berantakan. Saat itulah Anda beralih ke metode vertikal. Akan berantakan jika Anda tidak menyelaraskan kolom Anda. Unit di bawah unit. Puluhan di bawah puluhan. Jika tumpukannya tidak lurus, semuanya akan hancur.
Inilah cara Anda melakukannya. Mulai dari kanan. Kalikan satuannya. Tulis hasilnya di bawah garis. Namun di sinilah hal itu menjadi rumit. Bagaimana jika hasilnya lebih besar dari sembilan?
Ambil 12 x 6. Anda mulai dengan 2 x 6. Itu sama dengan 12. Anda tidak dapat menulis 12 di kolom satuan. Anda menuliskan 2. Kemudian Anda mengambil 1 (sepuluh) dan menahannya. Ini adalah carry-over atau acarreo. Anda menuliskannya kecil di atas kolom puluhan. Jangan lupakan itu.
Sekarang Anda pindah ke digit berikutnya. Kalikan puluhan: 1 x 6. Itu memberi Anda 6. Tapi Anda tidak hanya menulis 6. Anda menambahkan sisa yang Anda simpan di kepala Anda. 6 + 1 = 7. Tulis 7 itu di kolom puluhan. Hasil: 72.
Jika pengganda memiliki lebih banyak digit, ulangi proses ini. Kalikan dengan angka satuan. Tulis hasilnya pada baris baru. Kemudian kalikan dengan angka puluhan, geser satu titik ke kiri. Lakukan ratusan. Terakhir, tambahkan semua produk parsial tersebut. Itu aritmatika, bukan sihir.
Aturan perkalian yang tersembunyi
Anda dapat mengalikan bilangan bulat, bilangan asli, pecahan, atau bilangan kompleks. Aturannya tidak banyak berubah. Mereka hanya bergeser sedikit berdasarkan jenis nomornya. Berikut adalah properti yang mengatur setiap perhitungan.
Properti nol (elemen penyerap)
Kalikan semuanya dengan nol dan Anda mendapatkan nol. Itu adalah lubang hitam.
1470 x 0 = 0
Properti identitas (elemen netral)
Kalikan angka apa pun dengan satu, dan hasilnya tetap sama. Salah satunya adalah cermin.
1470x1 = 1470
Properti penutupan
Kalikan dua bilangan asli? Anda mendapatkan bilangan asli lainnya. Tidak ada pecahan. Tidak ada desimal. Hanya bilangan bulat.
500x2 = 1000
Properti komutatif
Urutan tidak masalah. 500 x 2 sama dengan 2 x 500. Produk tetap 1000. Anda dapat menukar faktor-faktor tersebut tanpa merusak persamaan.
Properti asosiatif
Pengelompokan juga tidak masalah. Jika Anda mempunyai tiga bilangan, tidak masalah bilangan mana yang harus dikalikan terlebih dahulu.
500 x 2 x 3 = 3000
500 x (2 x 3) = 3000
Hasilnya identik.
Properti distributif
Inilah yang suka diuji oleh para guru. Mengalikan suatu bilangan dengan suatu penjumlahan sama dengan mengalikan bilangan tersebut dengan masing-masing bagian secara terpisah lalu menjumlahkannya.
500 x (2 + 3) = 2500
Hancurkan:
(500x2) + (500x3)
1000 + 1500 = 2500
Hasil yang sama. Jalan yang berbeda.
Cara menangani tanda-tanda
Ketika angka negatif masuk ke obrolan, permainan berubah. Cara Anda mengalikan tanda menentukan apakah jawaban Anda positif atau negatif.
Cara kerja aturan tanda dalam perkalian
Kebanyakan siswa menghafal aturan tanda sebagai daftar hafalan. Lebih mudah untuk melihatnya sebagai hasil logis tentang bagaimana angka berhubungan dengan nol. Saat Anda mengalikan, Anda tidak hanya menggabungkan jumlah. Anda juga menggabungkan arah.
Anggap saja angka positif bergerak maju. Angka negatif berarti bergerak mundur.
Masa-masa positif yang positif tetap maju
Yang ini sangat mudah. Anda bergerak maju, lalu bergerak maju lagi. Hasilnya positif.
Ambil contoh 45 x 1.
Anda memiliki empat puluh lima unit. Anda mengambil satu kelompok dari mereka. Anda masih memiliki empat puluh lima. Tandanya tetap positif karena arahnya tidak berubah.
Negatif dikali negatif membalik arah
Ini adalah bagian yang membuat orang tersandung. Mengapa negatif dikali negatif sama dengan positif?
Anggap saja seperti ini: mengalikan dengan angka negatif akan membalikkan arah Anda. Jika Anda sudah menghadap ke belakang (negatif) dan Anda membalik instruksi itu lagi (negatif lainnya), Anda akhirnya menghadap ke depan.
Lihatlah -24x-3.
Anda mulai dengan defisit dua puluh empat. Tiga negatif memberitahu Anda untuk membalikkan defisit itu tiga kali. Membalikkan kerugian adalah keuntungan. Hasilnya 72. Ini bukan sihir. Ini adalah konsistensi dalam arah.
Pertanda campuran membalikkan hasilnya
Ketika tandanya berbeda, hasilnya selalu kehilangan kepositifannya.
Jika Anda mengalikan angka positif dengan angka negatif, Anda mengambil langkah maju dan kemudian membalikkannya. Hasil akhirnya mundur (negatif).
Jika Anda mengalikan angka negatif dengan positif, Anda mulai mundur dan mengambil langkah maju. Anda tetap terbelakang.
Lihat simetrinya di sini?
- 24 x -3 mendarat di -72.
- -24 x 3 juga mendarat di -72.
Besarannya sama. Arahnya bergantung sepenuhnya pada apakah Anda memiliki satu atau dua faktor negatif.
Satu faktor negatif? Jawabannya negatif.
Dua faktor negatif? Jawabannya positif.
Ini adalah filter sederhana. Hitung dampak negatifnya.
- Jumlah negatifnya ganjil? Produknya negatif.
- Jumlah negatifnya genap? Produknya positif.
Nol negatif? Itu positif.
Aturan ini berlaku baik Anda berurusan dengan dua angka atau dua puluh. Anda tidak perlu menghitung semuanya terlebih dahulu. Anda cukup memeriksa tanda di bagian akhir untuk memverifikasi pekerjaan Anda.
Namun mengapa hal ini penting di luar pekerjaan rumah?
Karena perhitungan di dunia nyata sering kali melibatkan kekuatan yang berlawanan. Hutang terhadap pendapatan. Defisit versus surplus. Memahami bagaimana tanda berinteraksi mencegah kesalahan dalam penganggaran, fisika, dan analisis data.
Kebanyakan orang berhenti pada aritmatika. Mereka lupa bahwa tanda merupakan bagian dari nilai. Mengabaikannya seperti mengabaikan koma desimal. Nomornya terlihat benar. Artinya salah.
Jika lain kali Anda melihat tanda negatif dalam soal perkalian, berhentilah sejenak. Jangan hanya menghitung angkanya. Tanyakan pada diri Anda: arah mana yang saya tuju? Setelah Anda mengetahuinya, sisanya tinggal menghitung.
