Паоло Руффіні був італійським математиком і лікарем, який жив з 1765 по 1822 рік. Його робота була сміливим кроком: він став першим, хто серйозно стверджував, що загальне рівняння п’ятого ступеня не може бути вирішене за допомогою стандартних методів алгебри. Це означає, що рівняння, у яких найвищий ступінь змінної дорівнює п’яти, не можна вирішити за допомогою звичайних формул. Його ідеї заклали ранній фундамент для сучасної теорії алгебри груп.
Ранні роки та академічний зліт
Руффіні народився Валентано. Це місто на той час входило до складу Папської області. Його сім’я переїхала до Реджо-нель-Емілії, неподалік Модени в Італії. Йому тоді було ще менше вісімнадцяти років.
У 1783 році він вступив до Університету Модени. Він швидко просувався вперед. Ще студентом він читав курс лекцій з основ аналізу. Цей курс відбувався протягом навчального року 1787–1788. У 1788 році він отримав ступінь у галузі філософії, медицини та математики. До осені він обійняв постійну посаду професора математики в тому ж університеті.
1791 року він також отримав ліцензію на медичну практику від Медичного суду Колегії Модени.
Політичні потрясіння та вимушене мовчання
Політична ситуація змінилася 1796 року. Наполеон Бонапарт завоював Моден. Руффіні був призначений представником. Він служив у Раді молодших членів Цизальпінської республіки, до складу якої входили Болонья, Емілія, Ломбардія та Модена.
На початку 1798 року він повернувся до академічної діяльності. Однак він зіткнувся з перешкодою: він відмовився скласти громадянську присягу на вірність з релігійних міркувань. Нова республіка заборонила йому викладати та позбавила доступу до державних посад.
Він припинив роботу. Натомість він зайнявся медичною практикою. Він продовжував свої математичні дослідження і працював, поки Наполеон не зазнав поразки в 1814 році. Після цього Руффіні назавжди повернувся до Університету Модени. Він став ректором та зберіг свої посади професора математики та медицини.
Доказ нерозв’язності рівняння п’ятого ступеня
Головним внеском Руффіні в науку є доказ нерозв’язності загального рівняння п’ятого ступеня. Його робота базувалася на ідеях Жозефа-Луї Лагранжа – італійсько-французького математика. Руффіні вивчав зв’язки між коефіцієнтами та перестановками. Він опублікував свої результати у 1799 році.
Спочатку академічне співтовариство не виявило ентузіазму. Його перший доказ було визнано недостатнім. Він переробив доказ і опублікував нову версію у 1813 році. І тому він обговорював свої ідеї з кількома видними математиками.
Навіть ця перероблена версія викликала скептицизм. Деякі математики залишалися такими, що сумніваються. Потім втрутився Огюстен-Луї Коші, провідний французький математик на той час. Він схвалив роботу Руффіні.
Спадщина, побудована на завзятості
Повну суворість доказу було досягнуто пізніше. В 1824 норвезький математик Нільс Хенрік Абель опублікував інший доказ. Його робота остаточно затвердила цей результат. Проте внесок Руффіні мав величезне значення, оскільки він заклав фундамент.
Коші використав цей фундамент для більш масштабних досліджень. Те саме зробив Еваріст Галуа, який жив з 1811 по 1832 рік. Водночас ці математики призвели до майже повного розуміння умов розв’язання поліноміальних рівнянь.
Руффіні показав, що деякі завдання немає рішення. Він довів це, незважаючи на скептицизм оточуючих. Він продовжував працювати, долаючи політичні заборони та академічні сумніви. Цей результат залишається ключовим моментом історії алгебри.
