Georg Cantor zmienił nie tylko matematykę. Złamał to.
Urodzony w Petersburgu w 1845 roku, ten niemiecki matematyk patrzył na liczby i widział to, co inni przeoczyli. Przed nim nieskończoność była pojęciem niejasnym. Duża liczba, która trwa wiecznie. Ale Kantor widział w tym miejsce. Krajobraz z różnymi regionami, różnymi rozmiarami i różnymi zasadami.
Został twórcą teorii mnogości, uznającej układy liczbowe za obiekty integralne. Nie patrzył tylko na pojedyncze liczby wymierne. Spojrzał na całą grupę. Dużo numerów do wszystkiego. Ta zmiana perspektywy doprowadziła do odkrycia, które nadal jest aktualne dla wielu ludzi.
Nie wszystkie nieskończoności są równe.
Liczenie niepoliczalnego
Przede wszystkim Cantor udowodnił, że niektóre zbiory nieskończone można policzyć. Weźmy liczby wymierne. To są ułamki. Dowolna liczba, którą można zapisać jako jedną liczbę całkowitą podzieloną przez drugą. Wydaje się, że ułamków jest znacznie więcej niż liczb naturalnych (1, 2, 3…).
Cantor pokazał korespondencję jeden do jednego. Dopasował każdą liczbę wymierną do unikalnej liczby naturalnej. Nic nie pozostaje bez pary. Znowu nic się nie stało.
Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.
Oznaczało to, że nieskończoność ułamków miała ten sam „rozmiar” co nieskończoność liczb całkowitych. Matematycy nazywają to przeliczalną nieskończonością. To jest do opanowania. Można go wymienić. Można to policzyć.
Ale potem nastąpił prawdziwy szok.
Cantor zwrócił swoją uwagę na liczby niewymierne. Liczby takie jak pi lub pierwiastek kwadratowy z dwóch. Te ułamki dziesiętne ciągną się w nieskończoność, bez powtórzeń. Wypełniają luki pomiędzy ułamkami. Cantor udowodnił, że tutaj taka korespondencja jest niemożliwa.
Nie można ich dopasować do liczb naturalnych. Jest ich po prostu za dużo.
Ta mnogość jest niepoliczalna. Jest większy. To jest większa nieskończoność.
Stopnie nieskończoności
Odkrycie to skłoniło Cantora do sklasyfikowania tego, co nazwał liczbami pozaskończonymi. To są stopnie nieskończoności.
Jeśli pomyślisz o nieskończoności jak o wysokości, Cantor pokazał, że nie jest to tylko jeden wysoki szczyt. To jest pasmo górskie. Niektóre szczyty są wyższe niż inne. Nieskończoność liczb rzeczywistych jest większa niż nieskończoność liczb naturalnych.
Nie tylko się tego domyślał. Zastosował ścisłą logikę. Bezpośrednio porównał rozmiary zestawów. Jeśli możesz dopasować każdy element zbioru A do elementu zbioru B bez reszty, będą one miały ten sam rozmiar. Jeśli nie możesz, to jedno jest większe od drugiego.
Dlatego ważne jest zrozumienie argumentu diagonalnego Cantora. To dowód na to, że liczby rzeczywiste są nieprzeliczalne. Pokazuje konkretny sposób znalezienia numeru, którego nie ma na żadnej liście, którą próbujesz utworzyć.
Dlaczego jest to ważne w nauce matematyki
Większość ludzi przestaje słyszeć o Cantorze w szkole średniej. Albo w ogóle o tym nie słyszą. Uczą się matematyki jako zbioru statycznych reguł. Dodatek. Odejmowanie. Mnożenie. Dział.
Cantor uczy nas, że matematyka jest dynamiczna. Chodzi o relacje między grupami. I nie chodzi tylko o pojedyncze liczby.
Studiując podstawy teorii mnogości, uczysz się myśleć strukturami. Jak te części pasują do siebie? Czy mogą na siebie nachodzić? Co zostało?
To nie jest tylko abstrakcyjna teoria. W ten sposób informatyka przetwarza dane. Tak działa logika. Tak rozumiemy ograniczenia.
