Vous connaissez peut-être « racine » comme un endroit où pousse une plante, mais en mathématiques, cela signifie tout autre chose. C’est simplement une solution à une équation. Habituellement, cette solution est un nombre. Parfois, c’est une formule algébrique. Le concept remonte au 9ème siècle. Les écrivains arabes faisaient référence à l’un des facteurs égaux d’un nombre sous le nom de jadhr, qui se traduit par « racine ». Plus tard, les traducteurs européens médiévaux ont utilisé le mot latin radix. C’est de là que vient le terme « radical ».
La règle de base est simple. Si a est un nombre réel positif et n est un entier positif. Il existe un nombre réel positif unique x tel que x n = a. Ce nombre est la (principale) n ème racine de a. Nous l’écrivons sous la forme √a ou a 1/n. L’entier n est appelé l’indice de la racine.
Pour n = 2, nous l’appelons la racine carrée. Il s’écrit √a. Pour n = 3, nous avons la racine cubique, écrite sous la forme ∛a. Et si a est négatif ? Si n est impair, la n ième racine négative unique de a est appelée principale. Considérez cet exemple. La racine cubique principale de –27 est –3.
Quand les racines sont rationnelles
Voici une règle sur laquelle vous pouvez compter. Si un nombre entier a une racine rationnelle n ième. Cela signifie qu’il peut être écrit sous forme de fraction commune. Alors cette racine doit être un entier. Regardons 5. Il n’a pas de racine carrée rationnelle. Pourquoi? Parce que 2² est inférieur à 5. Et 3² est supérieur à 5. Il n’y a pas de nombre entier entre 2 et 3. La racine carrée de 5 ne peut donc pas être une simple fraction.
Racines complexes et unité
Maintenant, l’image devient plus intéressante. Exactement n nombres complexes satisfont à l’équation x n = 1. Ceux-ci sont appelés les n èmes racines complexes de l’unité. Imaginez un cercle unité centré à l’origine. Placez un polygone régulier avec n côtés à l’intérieur. Un sommet se trouve sur la moitié positive de l’axe x. Les rayons jusqu’aux sommets sont des vecteurs. Ces vecteurs représentent le n complexe n ème racines de l’unité.
Si la racine dont le vecteur fait le plus petit angle positif avec la direction positive de l’axe x est désignée par la lettre grecque oméga (ω). Alors ω, ω², ω³, …, ωn = 1 constituent toutes les n èmes racines de l’unité.
Prenons l’exemple des racines cubiques de l’unité.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Toute racine, symbolisée par la lettre grecque epsilon (ε), qui a la propriété que ε, ε², …, εn = 1 donnent toutes les n ièmes racines de l’unité est dite primitive. Trouver ces racines équivaut à inscrire un polygone régulier de n côtés dans un cercle.
Pouvez-vous construire ces racines avec juste une règle et un compas ? Vous pouvez le faire pour certains numéros. Plus précisément, si n est un produit de nombres premiers distincts de la forme 2h + 1. Ou 2k fois un tel produit. Ou est de la forme 2k. Pour tout autre entier n, vous ne pouvez pas les construire de cette façon. Vous pouvez les déterminer à l’aide d’opérations rationnelles et de radicaux. Mais pas de simple arithmétique et racines carrées.
Racines dans les équations polynomiales
Le terme racine va au-delà des simples équations. Cela s’applique désormais à toutes les équations polynomiales. Une solution de l’équation f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 est appelée une racine. Ici a 0 ≠ 0.
Si les coefficients se situent dans le domaine complexe. Une équation du n ème degré a exactement n racines. Ils ne sont pas nécessairement distincts. Si les coefficients sont réels et que n est impair. Il existe au moins une vraie racine.
Mais une équation n’a pas toujours de racine dans son champ de coefficients. Considérons x ² − 5 = 0. Il n’a pas de racine rationnelle. Ses coefficients (1 et –5) sont des nombres rationnels. Pourtant, la solution implique un nombre irrationnel.
Définir une racine au sens large
Plus généralement, le terme racine peut être appliqué à n’importe quel nombre qui satisfait une équation donnée. Cela inclut les équations non polynomiales. Prenons π par exemple. C’est une racine de l’équation x sin (x ) = 0.
Pourquoi est-ce important pour vous ? Parce que comprendre les racines vous aide à résoudre des problèmes allant de l’algèbre de base à la géométrie avancée. Il relie l’arithmétique simple à des structures complexes. La prochaine fois que vous verrez un symbole comme √ ou ∛, rappelez-vous qu’il représente une solution spécifique. Un parmi tant d’autres potentiellement. Un pont entre une équation et sa réponse.
L’histoire du mot lui-même raconte une histoire de traduction et d’adaptation. De jadhr à radix en passant par l’anglais moderne. Les mathématiques évoluent avec le langage. Mais la logique sous-jacente reste constante. Une racine est une valeur qui rend une équation vraie. Que ce soit un entier. Une fraction. Ou un nombre complexe avec des parties imaginaires.
Cela signifie-t-il que chaque équation a une racine ? Dans le domaine complexe, oui. Dans le domaine rationnel, non. Cette distinction est essentielle. Cela façonne la façon dont nous abordons la résolution de problèmes. Cela dicte les outils que nous utilisons. Et cela définit les limites de ce que nous pouvons construire
