Ви можете знати слово «корінь» як місце, де росте рослина, але в математиці воно означає зовсім інше. Це просто рішення рівняння. Зазвичай, цим рішенням є число. Іноді це формула алгебри. Концепція походить від IX століття. Арабські письменники називали один із рівних множників числа jadhr, що перекладається як «корінь». Пізніше середньовічні європейські перекладачі використовували латинське слово Radix. Звідси й походить термін «радикал».
Основне правило просте. Якщо a — позитивне дійсне число, а n — позитивне ціле число, існує єдине позитивне дійсне число x, таке що x n = a. Це число є (головним) * n * -м коренем з * a . Записується воно як √ a чи a1/ n*. Ціле число * n * називається індексом кореня.
При n = 2 називаємо це квадратним коренем. Він записується як √a. При n = 3 маємо кубічний корінь, що записується як ∛a. Що, якщо a негативно? Якщо n непарно, єдиний негативний n -й корінь з a називається головним. Розглянемо цей приклад. Головний кубічний корінь –27 дорівнює –3.
Коли коріння раціональне
Ось правило, на яке можна покластися. Якщо ціле число має раціональний n -й корінь, тобто його можна записати у вигляді звичайного дробу, цей корінь повинен бути цілим числом. Візьмемо 5. У нього немає раціонального квадратного кореня. Чому? Тому що 2 ² менше 5, а 3 ² більше 5. Між 2 і 3 немає цілого числа. Отже, квадратний корінь із 5 не може бути простим дробом.
Комплексне коріння та одиниця
Тепер картина стає цікавішою. Рівно n комплексних чисел задовольняють рівнянню x n = 1. Вони називаються комплексними n -ми корінням з одиниці. Уявіть одиничне коло з центром на початку координат. Впишіть у неї правильний n -кутник. Одна з вершин лежить на позитивній півосі x. Радіуси, проведені до вершин, є векторами. Ці вектори є n комплексних n -х коренів з одиниці.
Якщо корінь, вектор якого утворює найменший позитивний кут з позитивним напрямом осі x, позначається грецькою літерою омега (ω), то ω, ω², ω³, …, ωn = 1 складають усі n -е коріння з одиниці.
Візьмемо як приклад кубічне коріння з одиниці.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Будь-який корінь, що позначається грецькою літерою епсілон (ε), що має властивість, що ε, ε², …, εn = 1 дають усі n -е коріння з одиниці, називається первісним. Знаходження цього коріння еквівалентно вписуванню правильного n -кутника в окружність.
Чи можна побудувати це коріння за допомогою лише лінійки та циркуля? Так, для певних чисел. А саме, якщо n є добутком різних простих чисел виду 2h + 1. Або 2k разів таким твором. Або має вигляд 2k. Для будь-якого іншого цілого числа n ви не зможете збудувати їх таким чином. Ви можете визначити їх за допомогою раціональних операцій та радикалів. Але не за допомогою простої арифметики та квадратного коріння.
Коріння в поліноміальних рівняннях
Термін «корінь» вийшов за межі простих рівнянь. Тепер він застосовується до всіх поліноміальних рівнянь. Розв’язання рівняння f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 називається коренем. Тут a 0 ≠ 0.
Якщо коефіцієнти лежать у комплексному полі, то рівняння n -го ступеня має рівно n коріння. Вони обов’язково різні. Якщо коефіцієнти дійсні, а n непарно, існує принаймні один дійсний корінь.
Але рівняння який завжди має корінь у своїй полі коефіцієнтів. Розглянемо x ² − 5 = 0. Він не має раціонального кореня. Його коефіцієнти (1 та –5) є раціональними числами. Однак рішення включає ірраціональне число.
Широке визначення кореня
Більше того, термін «корінь» може застосовуватися до будь-якого числа, яке задовольняє будь-якому заданому рівнянню. Це включає не поліноміальні рівняння. Візьмемо, наприклад, π. Це корінь рівняння * x * sin ( x ) = 0.
Чому це важливо для вас? Тому що розуміння коренів допомагає розв’язувати завдання, ranging від базової алгебри до просунутої геометрії. Це пов’язує просту арифметику із складними структурами. Наступного разу, коли ви побачите символ на кшталт √ або ∛, пам’ятайте, що він є конкретним рішенням. Один із потенційно багатьох. Міст між рівнянням та його відповіддю.
Історія самого слова розповідає історію перекладу та адаптації. Від jadhr до radix і далі до сучасної англійської мови. Математика розвивається разом із мовою. Але логіка, що лежить в основі, залишається незмінною. Корінь це значення, яке робить рівняння вірним. Будь то ціле число. Дріб. Або комплексне число з уявними частинами.
Чи це означає, що кожне рівняння має корінь? У комплексному полі – так. У раціональному полі – ні. Ця відмінність є ключовою. Воно формує те, як ми підходимо до вирішення проблем. Воно диктує, які інструменти ми використовуємо. І воно визначає межі того, що ми можемо збудувати.
