Вы можете знать слово «корень» как место, где растет растение, но в математике оно означает совершенно иное. Это просто решение уравнения. Обычно этим решением является число. Иногда это алгебраическая формула. Концепция восходит к IX веку. Арабские писатели называли один из равных множителей числа jadhr, что переводится как «корень». Позже средневековые европейские переводчики использовали латинское слово radix. Отсюда и происходит термин «радикал».
Основное правило простое. Если a — положительное действительное число, а n — положительное целое число, то существует единственное положительное действительное число x, такое что x n = a. Это число является (главным) n -м корнем из a. Записывается оно как √a или a 1/n. Целое число n называется индексом корня.
При n = 2 мы называем это квадратным корнем. Он записывается как √a. При n = 3 мы имеем кубический корень, записываемый как ∛a. Что если a отрицательно? Если n нечетно, единственный отрицательный n -й корень из a называется главным. Рассмотрим этот пример. Главный кубический корень из –27 равен –3.
Когда корни рациональны
Вот правило, на которое можно положиться. Если целое число имеет рациональный n -й корень, то есть его можно записать в виде обыкновенной дроби, то этот корень должен быть целым числом. Возьмем 5. У него нет рационального квадратного корня. Почему? Потому что 2² меньше 5, а 3² больше 5. Между 2 и 3 нет целого числа. Следовательно, квадратный корень из 5 не может быть простой дробью.
Комплексные корни и единица
Теперь картина становится более интересной. Ровно n комплексных чисел удовлетворяют уравнению x n = 1. Они называются комплексными n -ми корнями из единицы. Представьте единичную окружность с центром в начале координат. Впишите в нее правильный n -угольник. Одна из вершин лежит на положительной полуоси x. Радиусы, проведенные к вершинам, являются векторами. Эти векторы представляют собой n комплексных n -х корней из единицы.
Если корень, вектор которого образует наименьший положительный угол с положительным направлением оси x, обозначается греческой буквой омега (ω), то ω, ω², ω³, …, ωn = 1 составляют все n -е корни из единицы.
Возьмем в качестве примера кубические корни из единицы.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Любой корень, обозначаемый греческой буквой эпсилон (ε), обладающий свойством, что ε, ε², …, εn = 1 дают все n -е корни из единицы, называется первообразным. Нахождение этих корней эквивалентно вписыванию правильного n -угольника в окружность.
Можно ли построить эти корни с помощью только линейки и циркуля? Да, для определенных чисел. А именно, если n является произведением различных простых чисел вида 2h + 1. Или 2k раз таким произведением. Или имеет вид 2k. Для любого другого целого числа n вы не сможете построить их таким образом. Вы можете определить их с помощью рациональных операций и радикалов. Но не с помощью простой арифметики и квадратных корней.
Корни в полиномиальных уравнениях
Термин «корень» вышел за рамки простых уравнений. Теперь он применяется ко всем полиномиальным уравнениям. Решение уравнения f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 называется корнем. Здесь a 0 ≠ 0.
Если коэффициенты лежат в комплексном поле, то уравнение n -й степени имеет ровно n корней. Они не обязательно различны. Если коэффициенты действительные, а n нечетно, то существует по крайней мере один действительный корень.
Но уравнение не всегда имеет корень в своем поле коэффициентов. Рассмотрим x ² − 5 = 0. У него нет рационального корня. Его коэффициенты (1 и –5) являются рациональными числами. Однако решение включает иррациональное число.
Широкое определение корня
Более общо, термин «корень» может применяться к любому числу, которое удовлетворяет любому заданному уравнению. Это включает не полиномиальные уравнения. Возьмем, к примеру, π. Это корень уравнения x sin (x ) = 0.
Почему это важно для вас? Потому что понимание корней помогает решать задачи, ranging от базовой алгебры до продвинутой геометрии. Это связывает простую арифметику со сложными структурами. В следующий раз, когда вы увидите символ вроде √ или ∛, помните, что он представляет собой конкретное решение. Одно из потенциально многих. Мост между уравнением и его ответом.
История самого слова рассказывает историю перевода и адаптации. От jadhr к radix и далее к современному английскому языку. Математика развивается вместе с языком. Но лежащая в основе логика остается неизменной. Корень — это значение, которое делает уравнение верным. Будь то целое число. Дробь. Или комплексное число с мнимыми частями.
Означает ли это, что каждое уравнение имеет корень? В комплексном поле — да. В рациональном поле — нет. Это различие является ключевым. Оно формирует то, как мы подходим к решению проблем. Оно диктует, какие инструменты мы используем. И оно определяет пределы того, что мы можем построить.
