Você pode conhecer “raiz” como um lugar onde uma planta cresce, mas em matemática significa algo totalmente diferente. É simplesmente uma solução para uma equação. Normalmente, essa solução é um número. Às vezes, é uma fórmula algébrica. O conceito remonta ao século IX. Os escritores árabes referiam-se a um dos fatores iguais de um número como jadhr, que se traduz como “raiz”. Mais tarde, os tradutores europeus medievais usaram a palavra latina radix. É daí que vem o termo “radical”.
A regra básica é direta. Se a for um número real positivo e n for um número inteiro positivo. Existe um único número real positivo x tal que x n = a. Este número é a n ésima raiz (principal) de a. Escrevemos como √a ou a 1/n. O inteiro n é chamado de índice da raiz.
Para n = 2, chamamos isso de raiz quadrada. Está escrito como √a. Para n = 3, temos a raiz cúbica, escrita como ∛a. E se a for negativo? Se n for ímpar, a única raiz negativa n de a é denominada principal. Considere este exemplo. A raiz cúbica principal de –27 é –3.
Quando as raízes são racionais
Aqui está uma regra na qual você pode confiar. Se um número inteiro tem uma raiz n ésima racional. O que significa que pode ser escrito como uma fração comum. Então essa raiz deve ser um número inteiro. Vejamos 5. Não tem raiz quadrada racional. Por que? Porque 2² é menor que 5. E 3² é maior que 5. Não existe número inteiro entre 2 e 3. Portanto, a raiz quadrada de 5 não pode ser uma fração simples.
Raízes Complexas e Unidade
Agora a imagem fica mais interessante. Exatamente n números complexos satisfazem a equação x n = 1. Eles são chamados de n ésimas raízes complexas da unidade. Imagine um círculo unitário centrado na origem. Coloque um polígono regular com n lados dentro dele. Um vértice fica na metade positiva do eixo x. Os raios para os vértices são vetores. Esses vetores representam as n complexas raízes n ésimas da unidade.
Se a raiz cujo vetor forma o menor ângulo positivo com a direção positiva do eixo x é denotada pela letra grega ômega (ω). Então ω, ω², ω³, …, ωn = 1 constituem todas as n ésimas raízes da unidade.
Tomemos como exemplo as raízes cúbicas da unidade.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Qualquer raiz, simbolizada pela letra grega épsilon (ε), que tem a propriedade de que ε, ε²,…, εn = 1 fornece todas as n ésimas raízes da unidade é chamada de primitiva. Encontrar essas raízes equivale a inscrever um polígono regular de n lados em um círculo.
Você pode construir essas raízes apenas com uma régua e um compasso? Você pode fazer isso para determinados números. Especificamente, se n é um produto de números primos distintos da forma 2h + 1. Ou 2k vezes tal produto. Ou tem a forma 2k. Para todos os outros números inteiros n, você não pode construí-los desta forma. Você pode determiná-los usando operações racionais e radicais. Mas não simples aritmética e raízes quadradas.
Raízes em Equações Polinomiais
O termo raiz foi além de equações simples. Aplica-se a todas as equações polinomiais agora. Uma solução da equação f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 é chamada de raiz. Aqui a 0 ≠ 0.
Se os coeficientes estiverem no campo complexo. Uma equação do n ésimo grau tem exatamente n raízes. Eles não são necessariamente distintos. Se os coeficientes forem reais e n for ímpar. Existe pelo menos uma raiz real.
Mas uma equação nem sempre tem uma raiz no seu corpo de coeficientes. Considere x ² − 5 = 0. Não tem raiz racional. Seus coeficientes (1 e –5) são números racionais. No entanto, a solução envolve um número irracional.
Definindo uma raiz de maneira ampla
De forma mais geral, o termo raiz pode ser aplicado a qualquer número que satisfaça qualquer equação. Isso inclui equações não polinomiais. Tome π por exemplo. É uma raiz da equação x sin (x ) = 0.
Por que isso é importante para você? Porque compreender as raízes ajuda a resolver problemas que vão desde álgebra básica até geometria avançada. Ele conecta aritmética simples a estruturas complexas. Na próxima vez que você vir um símbolo como √ ou ∛, lembre-se de que ele representa uma solução específica. Um entre potencialmente muitos. Uma ponte entre uma equação e sua resposta.
A própria história da palavra conta uma história de tradução e adaptação. De jadhr a radix ao inglês moderno. A matemática evolui com a linguagem. Mas a lógica subjacente permanece constante. Uma raiz é um valor que torna uma equação verdadeira. Quer seja um número inteiro. Uma fração. Ou um número complexo com partes imaginárias.
Isso significa que toda equação tem uma raiz? No campo complexo, sim. No campo racional, não. Esta distinção é fundamental. Ele molda a forma como abordamos a resolução de problemas. Ele determina quais ferramentas usamos. E define os limites do que podemos construir
