Je kent ‘wortel’ misschien als een plaats waar een plant groeit, maar in wiskunde betekent het iets heel anders. Het is gewoon een oplossing voor een vergelijking. Meestal is die oplossing een getal. Soms is het een algebraïsche formule. Het concept dateert uit de 9e eeuw. Arabische schrijvers noemden een van de gelijke factoren van een getal jadhr, wat zich vertaalt naar ‘wortel’. Later gebruikten middeleeuwse Europese vertalers het Latijnse woord radix. Dat is waar we de term ‘radicaal’ vandaan halen.
De basisregel is eenvoudig. Als a een positief reëel getal is en n een positief geheel getal is. Er bestaat een uniek positief reëel getal x zodat x n = a. Dit getal is de (hoofd) n de wortel van a. We schrijven het als √a of a 1/n. Het gehele getal n wordt de index van de wortel genoemd.
Voor n = 2 noemen we dit de wortel. Het wordt geschreven als √a. Voor n = 3 hebben we de derdemachtswortel, geschreven als ∛a. Wat als a negatief is? Als n oneven is, wordt de unieke negatieve n de wortel van a hoofdsom genoemd. Denk eens aan dit voorbeeld. De belangrijkste derdemachtswortel van –27 is –3.
Wanneer wortels rationeel zijn
Hier is een regel waarop u kunt vertrouwen. Als een geheel getal een rationale n de wortel heeft. Dit betekent dat het kan worden geschreven als een gewone breuk. Dan moet die wortel een geheel getal zijn. Laten we eens kijken naar 5. Het heeft geen rationele vierkantswortel. Waarom? Omdat 2² kleiner is dan 5. En 3² groter is dan 5. Er is geen geheel getal tussen 2 en 3. De wortel van 5 kan dus geen eenvoudige breuk zijn.
Complexe wortels en eenheid
Nu wordt het beeld interessanter. Precies n complexe getallen voldoen aan de vergelijking x n = 1. Deze worden de complexe n de eenheidswortels genoemd. Stel je een eenheidscirkel voor, gecentreerd op de oorsprong. Plaats een regelmatige veelhoek met n zijden erin. Eén hoekpunt bevindt zich op de positieve helft van de x -as. De stralen naar de hoekpunten zijn vectoren. Deze vectoren vertegenwoordigen de n complexe n de eenheidswortels.
Als de wortel waarvan de vector de kleinste positieve hoek maakt met de positieve richting van de x -as, wordt aangegeven met de Griekse letter omega (ω). Dan vormen ω, ω², ω³, …, ωn = 1 alle n de eenheidswortels.
Neem als voorbeeld de derdemachtswortels van eenheid.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Elke wortel, gesymboliseerd door de Griekse letter epsilon (ε), die de eigenschap heeft dat ε, ε², …, εn = 1 alle n de eenheidswortels geeft, wordt primitief genoemd. Het vinden van deze wortels komt overeen met het inschrijven van een regelmatige veelhoek met n zijden in een cirkel.
Kun jij deze wortels construeren met alleen een liniaal en een kompas? Je kunt het voor bepaalde nummers doen. Concreet als n een product is van verschillende priemgetallen in de vorm 2h + 1. Of 2k maal zo’n product. Of heeft de vorm 2k. Voor elk ander geheel getal n kun je ze niet op deze manier construeren. Je kunt ze bepalen met behulp van rationele operaties en radicalen. Maar geen eenvoudige rekenkunde en vierkantswortels.
Wortels in veeltermvergelijkingen
De term wortel is verder gegaan dan eenvoudige vergelijkingen. Het is nu van toepassing op alle polynoomvergelijkingen. Een oplossing van de vergelijking f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 wordt een wortel genoemd. Hier a 0 ≠ 0.
Als de coëfficiënten in het complexe veld liggen. Een vergelijking van de n de graad heeft precies n wortels. Ze zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. Als de coëfficiënten reëel zijn en n oneven is. Er is minstens één echte wortel.
Maar een vergelijking heeft niet altijd een wortel in het coëfficiëntenveld. Beschouw x ² − 5 = 0. Het heeft geen rationele wortel. De coëfficiënten (1 en –5) zijn rationale getallen. Toch impliceert de oplossing een irrationeel getal.
Een wortel in grote lijnen definiëren
Meer in het algemeen kan de term wortel worden toegepast op elk getal dat aan een bepaalde vergelijking voldoet. Dit geldt ook voor niet-polynomiale vergelijkingen. Neem bijvoorbeeld π. Het is een wortel van de vergelijking x sin (x ) = 0.
Waarom is dit belangrijk voor jou? Omdat het begrijpen van wortels je helpt bij het oplossen van problemen, variërend van elementaire algebra tot geavanceerde meetkunde. Het verbindt eenvoudige rekenkunde met complexe structuren. De volgende keer dat u een symbool als √ of ∛ ziet, onthoud dan dat dit een specifieke oplossing vertegenwoordigt. Eén van de potentieel vele. Een brug tussen een vergelijking en het antwoord ervan.
De geschiedenis van het woord zelf vertelt een verhaal van vertaling en aanpassing. Van jadhr tot radix tot modern Engels. Wiskunde evolueert met de taal. Maar de onderliggende logica blijft constant. Een wortel is een waarde die een vergelijking waar maakt. Of het nu een geheel getal is. Een fractie. Of een complex getal met denkbeeldige delen.
Betekent dit dat elke vergelijking een wortel heeft? In het complexe veld wel. Op rationeel gebied niet. Dit onderscheid is cruciaal. Het bepaalt hoe we problemen oplossen. Het bepaalt welke tools we gebruiken. En het definieert de grenzen van wat we kunnen construeren
