Sie kennen „Wurzel“ vielleicht als einen Ort, an dem eine Pflanze wächst, aber in der Mathematik bedeutet es etwas ganz anderes. Es ist einfach eine Lösung einer Gleichung. Normalerweise ist diese Lösung eine Zahl. Manchmal handelt es sich um eine algebraische Formel. Das Konzept stammt aus dem 9. Jahrhundert. Arabische Schriftsteller bezeichneten einen der gleichen Faktoren einer Zahl als jadhr, was übersetzt „Wurzel“ bedeutet. Später verwendeten mittelalterliche europäische Übersetzer das lateinische Wort radix. Daraus ergibt sich der Begriff „radikal“.
Die Grundregel ist einfach. Wenn a eine positive reelle Zahl und n eine positive ganze Zahl ist. Es gibt eine eindeutige positive reelle Zahl x, so dass x n = a. Diese Zahl ist die (Haupt-) n -te Wurzel von a. Wir schreiben es als √a oder a 1/n. Die ganze Zahl n wird als Index der Wurzel bezeichnet.
Für n = 2 nennen wir es die Quadratwurzel. Es wird als √a geschrieben. Für n = 3 haben wir die Kubikwurzel, geschrieben als ∛a. Was ist, wenn a negativ ist? Wenn n ungerade ist, wird die eindeutige negative n -te Wurzel von a als Hauptwert bezeichnet. Betrachten Sie dieses Beispiel. Die Hauptkubikwurzel von –27 ist –3.
Wenn Wurzeln rational sind
Hier ist eine Regel, auf die Sie sich verlassen können. Wenn eine ganze Zahl eine rationale n -te Wurzel hat. Das heißt, es kann als gemeinsamer Bruch geschrieben werden. Dann muss diese Wurzel eine ganze Zahl sein. Schauen wir uns 5 an. Es hat keine rationale Quadratwurzel. Warum? Denn 2² ist kleiner als 5. Und 3² ist größer als 5. Zwischen 2 und 3 gibt es keine ganze Zahl. Die Quadratwurzel aus 5 kann also kein einfacher Bruch sein.
Komplexe Wurzeln und Einheit
Jetzt wird das Bild interessanter. Genau n komplexe Zahlen erfüllen die Gleichung x n = 1. Diese werden als komplexe n -te Einheitswurzeln bezeichnet. Stellen Sie sich einen Einheitskreis vor, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Platzieren Sie darin ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten. Ein Scheitelpunkt liegt auf der positiven Hälfte der x -Achse. Die Radien zu den Eckpunkten sind Vektoren. Diese Vektoren stellen die n komplexen n ten Einheitswurzeln dar.
Wenn die Wurzel, deren Vektor den kleinsten positiven Winkel mit der positiven Richtung der x -Achse bildet, mit dem griechischen Buchstaben Omega (ω) bezeichnet wird. Dann bilden ω, ω², ω³, …, ωn = 1 alle n -ten Einheitswurzeln.
Nehmen Sie als Beispiel die Kubikwurzeln der Einheit.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Jede Wurzel, symbolisiert durch den griechischen Buchstaben Epsilon (ε), die die Eigenschaft hat, dass ε, ε², …, εn = 1 alle n -ten Einheitswurzeln ergibt, wird als primitiv bezeichnet. Das Finden dieser Wurzeln entspricht dem Einschreiben eines regelmäßigen Polygons mit n Seiten in einen Kreis.
Können Sie diese Wurzeln nur mit Lineal und Zirkel konstruieren? Sie können dies für bestimmte Zahlen tun. Insbesondere wenn n ein Produkt verschiedener Primzahlen der Form 2h + 1 ist. Oder 2k mal ein solches Produkt. Oder hat die Form 2k. Für jede andere ganze Zahl n können Sie sie nicht auf diese Weise konstruieren. Sie können sie mithilfe rationaler Operationen und Radikalen ermitteln. Aber keine einfache Arithmetik und Quadratwurzeln.
Wurzeln in Polynomgleichungen
Der Begriff Wurzel hat sich über einfache Gleichungen hinaus entwickelt. Es gilt jetzt für alle Polynomgleichungen. Eine Lösung der Gleichung f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 wird Wurzel genannt. Hier ist a 0 ≠ 0.
Wenn die Koeffizienten im komplexen Körper liegen. Eine Gleichung n -ten Grades hat genau n Wurzeln. Sie sind nicht unbedingt verschieden. Wenn die Koeffizienten reell sind und n ungerade ist. Es gibt mindestens eine echte Wurzel.
Aber eine Gleichung hat nicht immer eine Wurzel in ihrem Koeffizientenfeld. Betrachten Sie x ² − 5 = 0. Es hat keine rationale Wurzel. Seine Koeffizienten (1 und –5) sind rationale Zahlen. Doch die Lösung beinhaltet eine irrationale Zahl.
Eine Wurzel allgemein definieren
Allgemeiner kann der Begriff Wurzel auf jede Zahl angewendet werden, die eine gegebene Gleichung erfüllt. Hierzu zählen auch nichtpolynomielle Gleichungen. Nehmen wir zum Beispiel π. Es ist eine Wurzel der Gleichung x sin (x ) = 0.
Warum ist Ihnen das wichtig? Denn das Verständnis von Wurzeln hilft Ihnen bei der Lösung von Problemen, die von der Grundalgebra bis zur fortgeschrittenen Geometrie reichen. Es verbindet einfache Arithmetik mit komplexen Strukturen. Wenn Sie das nächste Mal ein Symbol wie √ oder ∛ sehen, denken Sie daran, dass es eine bestimmte Lösung darstellt. Einer von potenziell vielen. Eine Brücke zwischen einer Gleichung und ihrer Antwort.
Die Geschichte des Wortes selbst erzählt eine Geschichte der Übersetzung und Anpassung. Von jadhr über radix bis hin zu modernem Englisch. Mathematik entwickelt sich mit der Sprache. Aber die zugrunde liegende Logik bleibt konstant. Eine Wurzel ist ein Wert, der eine Gleichung wahr macht. Ob es sich um eine Ganzzahl handelt. Ein Bruchteil. Oder eine komplexe Zahl mit Imaginärteilen.
Bedeutet das, dass jede Gleichung eine Wurzel hat? Im komplexen Bereich ja. Im rationalen Bereich nein. Diese Unterscheidung ist entscheidend. Es prägt die Art und Weise, wie wir an die Problemlösung herangehen. Es bestimmt, welche Tools wir verwenden. Und es definiert die Grenzen dessen, was wir konstruieren können
