Potresti conoscere “radice” come il luogo in cui cresce una pianta, ma in matematica significa qualcos’altro. È semplicemente la soluzione di un’equazione. Di solito, quella soluzione è un numero. A volte è una formula algebrica. Il concetto risale al IX secolo. Gli scrittori arabi si riferivano a uno dei fattori uguali di un numero come jadhr, che si traduce in “radice”. Successivamente, i traduttori europei medievali usarono la parola latina radix. Da qui deriva il termine “radicale”.
La regola di base è semplice. Se a è un numero reale positivo e n è un numero intero positivo. Esiste un unico numero reale positivo x tale che x n = a. Questo numero è la (principale) n esima radice di a. Lo scriviamo come √a o a 1/n. L’intero n è chiamato indice della radice.
Per n = 2, la chiamiamo radice quadrata. Si scrive come √a. Per n = 3, abbiamo la radice cubica, scritta come ∛a. Cosa succede se a è negativo? Se n è dispari, l’unica n esima radice negativa di a è detta principale. Considera questo esempio. La radice cubica principale di –27 è –3.
Quando le radici sono razionali
Ecco una regola su cui puoi fare affidamento. Se un numero intero ha una radice razionale n esima. Ciò significa che può essere scritto come una frazione comune. Quindi quella radice deve essere un numero intero. Consideriamo 5. Non ha radice quadrata razionale. Perché? Perché 2² è inferiore a 5. E 3² è maggiore di 5. Non esiste un numero intero tra 2 e 3. Quindi la radice quadrata di 5 non può essere una frazione semplice.
Radici complesse e unità
Ora il quadro si fa più interessante. Esattamente n numeri complessi soddisfano l’equazione x n = 1. Questi sono chiamati n esime radici complesse dell’unità. Immagina una circonferenza unitaria centrata nell’origine. Posiziona un poligono regolare con n lati al suo interno. Un vertice si trova sulla metà positiva dell’asse x. I raggi verso i vertici sono vettori. Questi vettori rappresentano le n complesse n esime radici dell’unità.
Se la radice il cui vettore forma il più piccolo angolo positivo con la direzione positiva dell’asse x è indicata con la lettera greca omega (ω). Allora ω, ω², ω³, …, ωn = 1 costituiscono tutte le n esime radici dell’unità.
Prendiamo come esempio le radici cubiche dell’unità.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Qualsiasi radice, simboleggiata dalla lettera greca epsilon (ε), che ha la proprietà che ε, ε², …, εn = 1 danno tutte le n esime radici dell’unità è detta primitiva. Trovare queste radici equivale a inscrivere in una circonferenza un poligono regolare di n lati.
Puoi costruire queste radici solo con righello e compasso? Puoi farlo per determinati numeri. Nello specifico, se n è un prodotto di numeri primi distinti nella forma 2h + 1. Oppure 2k per tale prodotto. Oppure è della forma 2k. Per ogni altro intero n, non puoi costruirli in questo modo. Puoi determinarli usando operazioni razionali e radicali. Ma non l’aritmetica semplice e le radici quadrate.
Radici nelle equazioni polinomiali
Il termine radice è andato oltre le semplici equazioni. Ora si applica a tutte le equazioni polinomiali. Una soluzione dell’equazione f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 è chiamata radice. Qui a 0 ≠ 0.
Se i coefficienti giacciono nel campo complesso. Un’equazione di n esimo grado ha esattamente n radici. Non sono necessariamente distinti. Se i coefficienti sono reali e n è dispari. Esiste almeno una radice reale.
Ma non sempre un’equazione ha una radice nel campo dei coefficienti. Considera x ² − 5 = 0. Non ha radice razionale. I suoi coefficienti (1 e –5) sono numeri razionali. Eppure la soluzione implica un numero irrazionale.
Definire una radice in generale
Più in generale, il termine radice può essere applicato a qualsiasi numero che soddisfi una determinata equazione. Ciò include equazioni non polinomiali. Prendiamo ad esempio π. È una radice dell’equazione x sin (x ) = 0.
Perché questo è importante per te? Perché comprendere le radici ti aiuta a risolvere problemi che vanno dall’algebra di base alla geometria avanzata. Collega l’aritmetica semplice a strutture complesse. La prossima volta che vedi un simbolo come √ o ∛, ricorda che rappresenta una soluzione specifica. Uno dei tanti potenzialmente. Un ponte tra un’equazione e la sua risposta.
La storia della parola stessa racconta una storia di traduzione e adattamento. Da jadhr a radix fino all’inglese moderno. La matematica si evolve con il linguaggio. Ma la logica di fondo rimane costante. Una radice è un valore che rende vera un’equazione. Se è un numero intero. Una frazione. O un numero complesso con parti immaginarie.
Questo significa che ogni equazione ha una radice? Nel campo complesso, sì. In campo razionale no. Questa distinzione è fondamentale. Determina il modo in cui affrontiamo la risoluzione dei problemi. Determina quali strumenti utilizziamo. E definisce i limiti di ciò che possiamo costruire
