Abraham de Moivre leefde een leven dat werd gekenmerkt door ontheemding en intellectuele strengheid. Geboren in Vitry, Frankrijk, op 26 mei 1667, zou hij uiteindelijk op 27 november 1754 in Londen sterven. Hij was niet alleen een wiskundige. Hij was een pionier. Zijn werk legde de basis voor analytische trigonometrie en, nog belangrijker, voor de moderne waarschijnlijkheidstheorie.
Zijn vroege leven werd gebroken door politieke en religieuze onrust. De Moivre, een Franse hugenoot, riskeerde gevangenisstraf toen het Edict van Nantes in 1685 werd ingetrokken. De intrekking was gericht tegen protestanten. Na een korte periode in de gevangenis vluchtte hij naar Engeland. De reis heeft alles veranderd.
In Londen vond hij geen rijkdom. Hij vond gemeenschap. Hij raakte goede vrienden met Sir Isaac Newton en de astronoom Edmond Halley. Dit netwerk leverde hem in 1697 een zetel op in de Royal Society of London. Later werd hij verkozen tot lid van de academies van Berlijn en Parijs. Dit waren hoge onderscheidingen. Toch brachten ze geen financiële stabiliteit.
Het onzekere leven van een genie
De Moivre had moeite om een permanente academische positie veilig te stellen. Hij overleefde als docent. Hij adviseerde ook over gokken en verzekeringen. Deze praktische ervaring met risico en toeval heeft zijn latere werk diepgaand beïnvloed. Hij beschouwde waarschijnlijkheid niet als een abstracte theorie, maar als een instrument om de onzekerheid in de echte wereld te begrijpen.
Zijn eerste belangrijke bijdrage aan dit vakgebied kwam uit een artikel met de titel ‘De mensura sortis’, geschreven in 1711. Het verscheen in Philosophical Transactions. Hij breidde dit artikel in 1718 uit tot een boek genaamd The Doctrine of Chances.
Waarschijnlijkheidstheorie had eerdere wortels. Blaise Pascal en Pierre de Fermat begonnen het gesprek met ongepubliceerde correspondentie in 1654. Christiaan Huygens uit Holland publiceerde in 1657 De Ratiociniis in Ludo Aleae. Deze werken concentreerden zich op dobbelspellen. De Moivre nam deze stichtingen over en breidde ze aanzienlijk uit.
Statistische onafhankelijkheid definiëren
Een van de meest kritische concepten in The Doctrine of Chances was de definitie van statistische onafhankelijkheid. De Moivre stelde dat de waarschijnlijkheid van een samengestelde gebeurtenis het product is van de waarschijnlijkheid van de componenten ervan. Deze regel is van toepassing wanneer deze gebeurtenissen statistisch onafhankelijk zijn.
Deze definitie blijft vandaag de dag een hoeksteen van waarschijnlijkheid. Het is hoe we de waarschijnlijkheid berekenen dat meerdere onafhankelijke gebeurtenissen samen voorkomen.
Zijn boek bevatte ook veel problemen met betrekking tot dobbelstenen en andere spellen. Sommige van deze problemen waren in 1713 verschenen in Ars conjectandi van Jakob Bernoulli. Bernoulli’s werk werd gepubliceerd vóór het boek van De Moivre, maar na zijn eerdere artikel. De Moivre herhaalde deze problemen niet alleen. Hij benaderde ze anders.
Hij leidde de principes van waarschijnlijkheid af uit de wiskundige verwachting van gebeurtenissen. Dit was het omgekeerde van de huidige praktijk. Tegenwoordig beginnen we vaak met axioma’s van waarschijnlijkheid en leiden we verwachtingen af. De Moivre begon met verwachting en werkte terug naar waarschijnlijkheid.
Analytische innovaties
Zijn tweede grote werk was Miscellanea Analytica uit 1730. Deze tekst markeerde een nieuwe sprong voorwaarts. De Moivre was de eerste die de waarschijnlijkheidsintegraal gebruikte waarbij de integrand de exponentiële waarde is van een negatief kwadratisch.
Dit wiskundige instrument zou essentieel worden in de latere ontwikkelingen van de statistiek. Het maakte preciezere berekeningen mogelijk met normale verdelingen. Terwijl de volledige implicaties van deze integraal zich in de daaropvolgende eeuwen zouden ontvouwen, zei De Moivre
Abraham de Moivre deed meer dan alleen maar sleutelen aan cijfers. Hij heeft in wezen de benadering voor faculteiten uitgevonden die de naam van James Stirling draagt, ondanks de verkeerde toeschrijving. Voor grote waarden van n schat de formule n! met behulp van de vierkantswortel van 2πn vermenigvuldigd met e verheven tot de negatieve macht n en n tot de n de macht.
Dit was niet alleen abstracte wiskunde. In 1733 paste De Moivre deze factoriële benadering toe om de normale frequentiecurve af te leiden. Hij gebruikte het om de binominale wet te benaderen en de kloof tussen discreet tellen en continue waarschijnlijkheid te overbruggen.
Van geometrie naar analyse via complexe getallen
De Moivre was ook een pionier in het gebruik van complexe getallen voor goniometrische functies. Hij ontwikkelde de identiteit die nu zijn naam draagt: (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx.
Deze formule verschoof de trigonometrie weg van pure geometrie naar analyse. Het stelde wiskundigen in staat hoeken en rotaties te behandelen door middel van algebraïsche manipulatie in plaats van alleen maar geometrische constructie.
