Slovo „kořen“ možná znáte jako místo, kde roste rostlina, ale v matematice znamená něco úplně jiného. Je to jen řešení rovnice. Toto rozhodnutí je obvykle číslo. Někdy je to algebraický vzorec. Koncept pochází z 9. století. Arabští spisovatelé nazvali jeden ze stejných faktorů čísla jadhr, což se překládá jako „kořen“. Pozdější středověcí evropští překladatelé používali latinské slovo radix. Odtud pochází termín „radikální“.
Základní pravidlo je jednoduché. Jestliže a je kladné reálné číslo a n je kladné celé číslo, pak existuje jedinečné kladné reálné číslo x takové, že x n = a. Toto číslo je (hlavní) n -tou odmocninou a. Zapisuje se jako √a nebo a 1/n. Celé číslo n se nazývá kořenový index.
Když n = 2, nazýváme to odmocnina. Píše se jako √a. Když n = 3, máme krychlovou odmocninu zapsanou jako ∛a. Co když je a záporné? Pokud je n liché, jediná záporná n tá odmocnina z a se nazývá hlavní kořen. Podívejme se na tento příklad. Hlavní odmocnina z –27 je –3.
Když jsou kořeny racionální
Zde je pravidlo, na které se můžete spolehnout. Pokud má celé číslo racionální n -tou odmocninu, to znamená, že jej lze zapsat jako obyčejný zlomek, pak tento kořen musí být celé číslo. Vezměme 5. Nemá racionální druhou odmocninu. Proč? Protože 2² je menší než 5 a 3² je více než 5. Mezi 2 a 3 není celé číslo. Odmocnina z 5 proto nemůže být jednoduchý zlomek.
Komplexní kořeny a jednotka
Nyní se obrázek stává zajímavějším. Přesně n komplexních čísel vyhovuje rovnici x n = 1. Říká se jim komplexní n kořeny jednoty. Představte si jednotkovou kružnici se středem v počátku. Vložte do něj pravidelný n -úhelník. Jeden z vrcholů leží na kladné poloose x. Poloměry nakreslené k vrcholům jsou vektory. Tyto vektory představují n komplexní n -tý kořen jednoty.
Jestliže kořen, jehož vektor svírá nejmenší kladný úhel s kladným směrem osy x, označíme řeckým písmenem omega (ω), pak ω, ω², ω³, …, ωn = 1 tvoří všechny n -té kořeny jednoty.
Vezměme si jako příklad krychlové kořeny jednoty.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Jakýkoli kořen, označený řeckým písmenem epsilon (ε), který má vlastnost, že ε, ε², …, εn = 1 dává všem n -tým kořenům jednoty, se nazývá primitivní. Nalezení těchto kořenů je ekvivalentní vepsání pravidelného n -úhelníku do kruhu.
Je možné sestrojit tyto kořeny pouze pomocí pravítka a kružítka? Ano, pro určitá čísla. Totiž, pokud n je součin různých prvočísel ve tvaru 2h + 1. Nebo 2k krát takový součin. Nebo má tvar 2k. Pro žádné jiné celé číslo n je nebudete moci vykreslit tímto způsobem. Můžete je definovat pomocí racionálních operací a radikálů. Ale ne s jednoduchými aritmetiky a odmocniny.
Kořeny v polynomiálních rovnicích
Termín „kořen“ přesáhl rámec jednoduchých rovnic. Nyní platí pro všechny polynomické rovnice. Řešení rovnice f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 se nazývá kořen. Zde a 0 ≠ 0.
Jestliže koeficienty leží v komplexním poli, pak rovnice n tého stupně má přesně n kořenů. Nemusí se nutně lišit. Pokud jsou koeficienty reálné a n je liché, pak existuje alespoň jeden skutečný kořen.
Ale rovnice nemá vždy kořen ve svém koeficientovém poli. Uvažujme x ² − 5 = 0. Nemá žádný racionální kořen. Jeho koeficienty (1 a –5) jsou racionální čísla. Řešení však zahrnuje iracionální číslo.
Široká definice kořene
Obecněji může být termín “kořen” aplikován na jakékoli číslo, které splňuje jakoukoli danou rovnici. Patří sem i nepolynomiální rovnice. Vezměme si například π. Toto je kořen rovnice x sin (x ) = 0.
Proč je to pro vás důležité? Protože porozumění kořenům pomáhá řešit problémy od základní algebry po pokročilou geometrii. To spojuje jednoduchou aritmetiku se složitými strukturami. Až příště uvidíte symbol jako √ nebo ∛, nezapomeňte, že představuje konkrétní řešení. Jeden z potenciálně mnoha. Most mezi rovnicí a její odpovědí.
Historie samotného slova vypráví příběh překladu a adaptace. Od jadhr k radix a dále k moderní angličtině. Matematika se vyvíjí spolu s jazykem. Ale základní logika zůstává stejná. Odmocnina je hodnota, díky které je rovnice pravdivá. Ať už je to celé číslo. Zlomek. Nebo komplexní číslo s imaginárními částmi.
Znamená to, že každá rovnice má kořen? Ve složitém oboru – ano. V racionálním poli – ne. Toto rozlišení je klíčové. Formuje to, jak k problémům přistupujeme. Určuje, jaké nástroje používáme. A definuje hranice toho, co můžeme postavit.
