Es posible que conozcas “raíz” como el lugar donde crece una planta, pero en matemáticas significa algo completamente distinto. Es simplemente una solución a una ecuación. Normalmente, esa solución es un número. A veces, es una fórmula algebraica. El concepto se remonta al siglo IX. Los escritores árabes se referían a uno de los factores iguales de un número como jadhr, que se traduce como “raíz”. Más tarde, los traductores europeos medievales utilizaron la palabra latina radix. De ahí surge el término “radical”.
La regla básica es sencilla. Si a es un número real positivo y n es un entero positivo. Existe un número real positivo único x tal que x n = a. Este número es la raíz (principal) n ésima de a. Lo escribimos como √a o a 1/n. El número entero n se llama índice de la raíz.
Para n = 2, lo llamamos raíz cuadrada. Se escribe como √a. Para n = 3, tenemos la raíz cúbica, escrita como ∛a. ¿Qué pasa si a es negativo? Si n es impar, la única raíz negativa n ésima de a se denomina principal. Considere este ejemplo. La raíz cúbica principal de –27 es –3.
Cuando las raíces son racionales
Aquí tienes una regla en la que puedes confiar. Si un número entero tiene una raíz racional n ésima. Es decir, se puede escribir como una fracción común. Entonces esa raíz debe ser un número entero. Miremos 5. No tiene raíz cuadrada racional. ¿Por qué? Porque 2² es menor que 5. Y 3² es mayor que 5. No hay un número entero entre 2 y 3. Entonces la raíz cuadrada de 5 no puede ser una fracción simple.
Raíces complejas y unidad
Ahora el panorama se vuelve más interesante. Exactamente n números complejos satisfacen la ecuación x n = 1. Estos se llaman raíces complejas n ésimas de la unidad. Imagine un círculo unitario centrado en el origen. Coloca un polígono regular con n lados dentro. Un vértice se encuentra en la mitad positiva del eje x. Los radios a los vértices son vectores. Estos vectores representan las n complejas n ésimas raíces de la unidad.
Si la raíz cuyo vector forma el ángulo positivo más pequeño con la dirección positiva del eje x se denota con la letra griega omega (ω). Entonces ω, ω², ω³,…, ωn = 1 constituyen todas las n ésimas raíces de la unidad.
Tomemos como ejemplo las raíces cúbicas de la unidad.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Cualquier raíz, simbolizada por la letra griega épsilon (ε), que tiene la propiedad de que ε, ε²,…, εn = 1 dan todas las n ésimas raíces de la unidad se llama primitiva. Encontrar estas raíces equivale a inscribir un polígono regular de n lados en un círculo.
¿Puedes construir estas raíces con solo una regla y un compás? Puedes hacerlo para ciertos números. Específicamente, si n es un producto de números primos distintos de la forma 2h + 1. O 2k veces dicho producto. O tiene la forma 2k. Para cualquier otro número entero n, no puedes construirlos de esta manera. Puedes determinarlos usando operaciones racionales y radicales. Pero no la simple aritmética y las raíces cuadradas.
Raíces en ecuaciones polinómicas
El término raíz ha ido más allá de las simples ecuaciones. Ahora se aplica a todas las ecuaciones polinómicas. Una solución de la ecuación f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 se llama raíz. Aquí a 0 ≠ 0.
Si los coeficientes se encuentran en el campo complejo. Una ecuación de n ésimo grado tiene exactamente n raíces. No son necesariamente distintos. Si los coeficientes son reales y n es impar. Hay al menos una raíz real.
Pero una ecuación no siempre tiene una raíz en su campo de coeficientes. Considere x ² − 5 = 0. No tiene raíz racional. Sus coeficientes (1 y –5) son números racionales. Sin embargo, la solución implica un número irracional.
Definición amplia de una raíz
De manera más general, el término raíz se puede aplicar a cualquier número que satisfaga una ecuación determinada. Esto incluye ecuaciones no polinómicas. Tomemos π por ejemplo. Es una raíz de la ecuación x sin (x ) = 0.
¿Por qué te importa esto? Porque comprender las raíces te ayuda a resolver problemas que van desde álgebra básica hasta geometría avanzada. Conecta la aritmética simple con estructuras complejas. La próxima vez que veas un símbolo como √ o ∛, recuerda que representa una solución específica. Uno de potencialmente muchos. Un puente entre una ecuación y su respuesta.
La historia de la palabra misma cuenta una historia de traducción y adaptación. De jadhr a radix y al inglés moderno. Las matemáticas evolucionan con el lenguaje. Pero la lógica subyacente sigue siendo constante. Una raíz es un valor que hace que una ecuación sea verdadera. Si es un número entero. Una fracción. O un número complejo con partes imaginarias.
¿Significa esto que toda ecuación tiene una raíz? En el campo complejo, sí. En el campo racional, no. Esta distinción es clave. Da forma a cómo abordamos la resolución de problemas. Dicta qué herramientas utilizamos. Y define los límites de lo que podemos construir.
