Anda mungkin mengetahui “akar” sebagai tempat tumbuhnya tanaman, namun dalam matematika, maknanya sangat berbeda. Ini hanyalah solusi untuk sebuah persamaan. Biasanya solusinya berupa angka. Terkadang, ini adalah rumus aljabar. Konsep ini berasal dari abad ke-9. Para penulis Arab menyebut salah satu faktor yang setara dengan suatu bilangan sebagai jadhr, yang diterjemahkan menjadi “akar”. Belakangan, para penerjemah Eropa abad pertengahan menggunakan kata Latin radix. Dari situlah kita mendapat istilah “radikal”.
Aturan dasarnya sangat mudah. Jika a bilangan real positif dan n bilangan bulat positif. Terdapat bilangan real positif unik x sehingga x n = a. Angka ini adalah akar (utama) n dari a. Kami menulisnya sebagai √a atau a 1/n. Bilangan bulat n disebut indeks akar.
Untuk n = 2, kita menyebutnya akar kuadrat. Ditulis sebagai √a. Untuk n = 3, kita memiliki akar pangkat tiga, ditulis sebagai ∛a. Bagaimana jika a negatif? Jika n ganjil, akar negatif unik n dari a disebut pokok. Perhatikan contoh ini. Akar pangkat tiga utama dari –27 adalah –3.
Ketika Akarnya Rasional
Inilah aturan yang dapat Anda andalkan. Jika suatu bilangan bulat mempunyai akar rasional ke-n. Artinya dapat ditulis sebagai pecahan biasa. Maka root itu harus berupa bilangan bulat. Mari kita lihat angka 5. Tidak ada akar kuadrat rasional. Mengapa? Karena 2² lebih kecil dari 5. Dan 3² lebih besar dari 5. Tidak ada bilangan bulat antara 2 dan 3. Jadi akar kuadrat dari 5 tidak bisa berupa pecahan sederhana.
Akar dan Persatuan yang Kompleks
Kini gambarannya menjadi lebih menarik. Tepatnya n bilangan kompleks memenuhi persamaan x n = 1. Ini disebut akar kesatuan kompleks n. Bayangkan sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal. Tempatkan poligon beraturan dengan n sisi di dalamnya. Satu titik terletak pada separuh positif sumbu x. Jari-jari ke simpul adalah vektor. Vektor-vektor ini mewakili akar kesatuan n kompleks n.
Jika akar yang vektornya membentuk sudut positif terkecil dengan arah positif sumbu x dilambangkan dengan huruf Yunani omega (ω). Maka ω, ω², ω³, …, ωn = 1 merupakan semua akar kesatuan ke n.
Ambil contoh akar pangkat tiga kesatuan.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Akar apa pun, yang dilambangkan dengan huruf Yunani epsilon (ε), yang memiliki sifat ε, ε², …, εn = 1 memberikan semua akar kesatuan n th disebut primitif. Menemukan akar-akar ini sama dengan menuliskan poligon beraturan dengan n sisi dalam sebuah lingkaran.
Bisakah kamu membuat akar-akar ini hanya dengan penggaris dan kompas? Anda bisa melakukannya untuk nomor-nomor tertentu. Khususnya, jika n adalah hasil kali bilangan prima berbeda dengan bentuk 2h + 1. Atau 2k dikalikan dengan hasil kali tersebut. Atau berbentuk 2k. Untuk setiap bilangan bulat lainnya n, Anda tidak dapat menyusunnya dengan cara ini. Anda dapat menentukannya menggunakan operasi rasional dan radikal. Tapi bukan aritmatika sederhana dan akar kuadrat.
Akar dalam Persamaan Polinomial
Istilah root telah melampaui persamaan sederhana. Ini berlaku untuk semua persamaan polinomial sekarang. Penyelesaian persamaan f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 disebut akar. Di sini a 0 ≠ 0.
Jika koefisiennya terletak pada bidang kompleks. Persamaan derajat n mempunyai akar tepat n. Mereka belum tentu berbeda. Jika koefisiennya nyata dan n ganjil. Setidaknya ada satu akar nyata.
Namun suatu persamaan tidak selalu mempunyai akar pada bidang koefisiennya. Pertimbangkan x ² − 5 = 0. Ia tidak memiliki akar rasional. Koefisiennya (1 dan –5) adalah bilangan rasional. Namun solusinya melibatkan bilangan irasional.
Mendefinisikan Root Secara Luas
Secara umum, istilah akar dapat diterapkan pada bilangan apa pun yang memenuhi persamaan tertentu. Ini termasuk persamaan non-polinomial. Ambil π misalnya. Merupakan akar persamaan x sin (x ) = 0.
Mengapa ini penting bagi Anda? Karena memahami akar membantu Anda memecahkan masalah mulai dari aljabar dasar hingga geometri tingkat lanjut. Ini menghubungkan aritmatika sederhana ke struktur kompleks. Lain kali Anda melihat simbol seperti √ atau ∛, ingatlah bahwa simbol tersebut mewakili solusi spesifik. Salah satu dari banyak kemungkinan. Jembatan antara persamaan dan jawabannya.
Sejarah kata itu sendiri menceritakan kisah penerjemahan dan adaptasi. Dari jadhr hingga radix hingga bahasa Inggris modern. Matematika berkembang seiring dengan bahasa. Namun logika yang mendasarinya tetap konstan. Akar adalah nilai yang membuat suatu persamaan menjadi benar. Apakah itu bilangan bulat. Sebagian kecil. Atau bilangan kompleks dengan bagian imajiner.
Apakah ini berarti setiap persamaan mempunyai akar? Di bidang yang kompleks, ya. Di bidang rasional, tidak. Perbedaan ini adalah kuncinya. Ini membentuk cara kita mendekati pemecahan masalah. Ini menentukan alat apa yang kita gunakan. Dan itu menentukan batasan dari apa yang dapat kita bangun
