Być może znasz słowo „korzeń” jako miejsce, w którym rośnie roślina, ale w matematyce oznacza to coś zupełnie innego. To po prostu rozwiązanie równania. Zazwyczaj ta decyzja jest liczbą. Czasami jest to wzór algebraiczny. Koncepcja sięga IX wieku. Arabscy pisarze nazywali jeden z równych współczynników liczby jadhr, co tłumaczy się jako „rdzeń”. Późniejsi średniowieczni tłumacze europejscy używali łacińskiego słowa radix. Stąd pochodzi określenie „radykalny”.
Podstawowa zasada jest prosta. Jeśli a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a n jest dodatnią liczbą całkowitą, wówczas istnieje unikalna dodatnia liczba rzeczywista x taka, że x n = a. Ta liczba jest (głównym) n pierwiastkiem z a. Jest zapisywany jako √a lub a 1/n. Liczba całkowita n nazywana jest indeksem głównym.
Gdy n = 2, nazywamy to pierwiastkiem kwadratowym. Jest zapisywany jako √a. Gdy n = 3, mamy pierwiastek sześcienny zapisany jako ∛a. A co jeśli a jest ujemne? Jeśli n jest nieparzyste, jedyny ujemny n pierwiastek z a nazywany jest pierwiastkiem głównym. Rozważmy ten przykład. Głównym pierwiastkiem sześciennym z –27 jest –3.
Kiedy korzenie są racjonalne
Oto zasada, na której możesz polegać. Jeśli liczba całkowita ma pierwiastek wymierny n, to znaczy można ją zapisać jako ułamek zwykły, wówczas pierwiastek ten musi być liczbą całkowitą. Weźmy 5. Nie ma ona wymiernego pierwiastka kwadratowego. Dlaczego? Ponieważ 2² jest mniejsze niż 5, a 3² jest większe niż 5. Między 2 a 3 nie ma liczby całkowitej. Dlatego pierwiastek kwadratowy z 5 nie może być ułamkiem prostym.
Złożone pierwiastki i jednostka
Teraz obraz staje się ciekawszy. Dokładnie n liczby zespolone spełniają równanie x n = 1. Nazywa się je zespolonymi n pierwiastkami jedności. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy ze środkiem w początku. Włóż do niego zwykły n -gon. Jeden z wierzchołków leży na dodatniej półosi x. Promienie poprowadzone do wierzchołków są wektorami. Te wektory reprezentują n złożone n -te pierwiastki jedności.
Jeśli pierwiastek, którego wektor tworzy najmniejszy dodatni kąt z dodatnim kierunkiem osi x, oznaczymy grecką literą omega (ω), to ω, ω², ω³, …, ωn = 1 stanowią wszystkie n -te pierwiastki jedności.
Weźmy jako przykład pierwiastek sześcienny jedności.
ω = −1/2 + √−3 /2
ω² = −1/2 − √−3 /2
ω³ = 1
Każdy pierwiastek, oznaczony grecką literą epsilon (ε), który ma tę właściwość, że ε, ε², …, εn = 1 daje wszystkim n -tym pierwiastkom jedności, nazywany jest funkcją pierwotną. Znalezienie tych pierwiastków jest równoznaczne z wpisaniem zwykłego n -gonu w okrąg.
Czy da się skonstruować te pierwiastki używając jedynie linijki i kompasu? Tak, dla określonych liczb. Mianowicie, jeśli n jest iloczynem różnych liczb pierwszych w postaci 2h + 1. Lub 2k razy taki iloczyn. Lub ma postać 2k. Dla żadnej innej liczby całkowitej n nie będziesz mógł jej wykreślić w ten sposób. Można je zdefiniować za pomocą operacji wymiernych i pierwiastków. Ale nie przy pomocy prostej arytmetyki i pierwiastków kwadratowych.
Pierwiastki w równaniach wielomianowych
Termin „korzeń” wykracza poza proste równania. Ma to teraz zastosowanie do wszystkich równań wielomianowych. Rozwiązanie równania f (x ) = a 0x n + a 1x n − 1 + … + a n − 1x + a n = 0 nazywane jest pierwiastkiem. Tutaj a 0 ≠ 0.
Jeśli współczynniki należą do ciała zespolonego, wówczas równanie n tego stopnia ma dokładnie n pierwiastków. Niekoniecznie się różnią. Jeśli współczynniki są rzeczywiste, a n jest nieparzyste, to istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Ale równanie nie zawsze ma pierwiastek w polu współczynników. Rozważmy x ² − 5 = 0. Nie ma pierwiastka wymiernego. Jego współczynniki (1 i –5) są liczbami wymiernymi. Jednak rozwiązanie wymaga liczby niewymiernej.
Szeroka definicja korzenia
Mówiąc bardziej ogólnie, termin „pierwiastek” można zastosować do dowolnej liczby, która spełnia dowolne równanie. Obejmuje to równania niewielomianowe. Weźmy na przykład π. To jest pierwiastek równania x sin (x ) = 0.
Dlaczego jest to dla Ciebie ważne? Ponieważ zrozumienie pierwiastków pomaga rozwiązywać problemy, od podstawowej algebry po zaawansowaną geometrię. Łączy to prostą arytmetykę ze złożonymi strukturami. Następnym razem, gdy zobaczysz symbol taki jak √ lub ∛, pamiętaj, że reprezentuje on konkretne rozwiązanie. Jeden z potencjalnie wielu. Pomost między równaniem a jego odpowiedzią.
Historia samego słowa opowiada historię tłumaczenia i adaptacji. Od jadhr do radix i dalej do współczesnego angielskiego. Matematyka rozwija się wraz z językiem. Ale podstawowa logika pozostaje taka sama. Pierwiastek to wartość, która sprawia, że równanie jest prawdziwe. Niezależnie od tego, czy jest to liczba całkowita. Frakcja. Lub liczba zespolona z częściami urojonymi.
Czy to oznacza, że każde równanie ma pierwiastek? W złożonej dziedzinie – tak. W polu racjonalnym – nie. To rozróżnienie jest kluczowe. Kształtuje sposób, w jaki podchodzimy do problemów. To ona decyduje, jakich narzędzi używamy. I określa granice tego, co możemy zbudować.
