Як Абрахам де Муавр визначив теорію ймовірностей у XVIII столітті
Абрахам де Муавр прожив життя, відзначене переміщеннями та інтелектуальною строгістю. Народившись 26 травня 1667 року у Вітрі, Франція, він зрештою помер у Лондоні 27 листопада 1754 року. Він був не просто математиком. Він був піонером. Його роботи заклали основу аналітичної тригонометрії та, що важливіше, сучасної теорії ймовірностей.
Його ранні роки були розірвані політичними та релігійними потрясіннями. Будучи французьким гугенотом, де Муавр зіштовхнувся з ув’язненням після скасування Нантського едикту в 1685 році. Скасування торкалося протестантів. Після короткого перебування у в’язниці він утік до Англії. Ця подорож змінила все.
У Лондоні він не знайшов багатства. Він знайшов спільноту. Він зблизився з сером Ісааком Ньютоном та астрономом Едмондом Галлеєм. Ця мережа зв’язків забезпечила йому місце у Лондонському королівському товаристві у 1697 році. Пізніше його було обрано до Берлінської та Паризької академії наук. То були високі почесті. Однак, вони не принесли фінансової стабільності.
Крихке життя генія
Де Муавру було важко здобути постійну академічну посаду. Він виживав, працюючи репетитором. Він також консультував з питань азартних ігор та страхування. Цей практичний досвід роботи з ризиком та випадковістю глибоко вплинув на його пізні роботи. Він розумів ймовірність не як абстрактну теорію, бо як інструмент для розуміння невизначеності реального світу.
Його перший великий внесок у цю область було представлено статті «De mensura sortis», написаної 1711 року. Вона з’явилася в журналі “Philosophical Transactions”. У 1718 році він розширив цю статтю в книгу під назвою The Doctrine of Chances.
Теорія ймовірностей мала й попереднє коріння. Блез Паскаль і П’єр де Ферма розпочали дискусію у неопублікованому листуванні у 1654 році. Християн Гюйгенс з Нідерландів опублікував De Ratiociniis in Ludo Aleae в 1657 році. Ці роботи фокусувалися на іграх у кістки. Де Муавр взяв ці основи та значно розширив їх.
Визначення статистичної незалежності
Одним з найважливіших понять у The Doctrine of Chances було визначення статистичної незалежності. Де Муавр стверджував, що ймовірність складової події дорівнює добутку ймовірностей його складових. Це правило застосовується, коли ці події статистично незалежні.
Це визначення залишається наріжним каменем теорії ймовірностей і досі. Саме так ми розраховуємо ймовірність одночасного настання кількох незалежних подій.
Його книга також містила безліч завдань, пов’язаних із іграми в кістки та іншими іграми. Деякі з цих завдань вже з’являлися в Ars conjectandi Якоба Бернуллі в 1713 році. Робота Бернуллі була опублікована до виходу книги де Муавра, але після його ранньої статті. Де Муавр не просто повторював ці завдання. Він підходив до них інакше.
Він виводив принципи ймовірності математичного очікування подій. Це було протилежно прийнятої на той час практиці. Сьогодні ми часто починаємо з аксіом теорії ймовірностей та виводимо з них очікування. Де Муавр починав з очікування і повертався назад до ймовірності.
Аналітичні інновації
Його друга велика робота – “Miscellanea Analytica” – була опублікована в 1730 році. Цей текст ознаменував ще один крок уперед. Де Муавр першим використовував інтеграл ймовірності, де підінтегральна функція є експонентом від негативного квадратичного виразу.
Цей математичний інструмент став незамінним у подальших розробках статистики. Він дозволяв проводити точніші обчислення, пов’язані з нормальним розподілом. Хоча повні наслідки цього інтегралу виявилися в наступних століттях, де Муавр
Абрахам де Муавр зробив набагато більше, ніж просто експериментував із числами. Він фактично розробив наближену формулу для факторіалів, яка має ім’я Джеймса Стірлінга, незважаючи на помилкове приписування авторства. Для високих значень n ця формула оцінює n! як добуток квадратного кореня з 2πn на e у ступені -n та n у ступені n.
Це була не просто абстрактна математика. У 1733 де Муавр застосував це наближення факторіалу для виведення кривої нормального розподілу. Він використав його для апроксимації біномного закону, подолавши розрив між дискретним підрахунком і безперервною ймовірністю.
Від геометрії до аналізу через комплексні числа
Де Муавр також був піонером у використанні комплексних чисел тригонометричних функцій. Він вивів тотожність, що тепер носить його ім’я: (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx.
Ця формула вивела тригонометрію за межі чистої геометрії і перевела її в область аналізу. Вона дозволила математикам розглядати кути та повороти за допомогою алгебраїчних перетворень, а не лише геометричних побудов.
